math.sqrt on complex, real part

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Precision: 64

Math

\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -7.5435500774547602 \cdot 10^{151}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im \cdot \frac{im}{-2 \cdot re}\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 4.23088054279604859 \cdot 10^{-298}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \left|\frac{im}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right|\right)\\ \mathbf{elif}\;re \le 3.32606995187200277 \cdot 10^{-192}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im \cdot \frac{im}{im - re}\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 9.85515915791745069 \cdot 10^{-94}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im \cdot \frac{im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sqrt((2.0 * (sqrt(((re * re) + (im * im))) + re))));
}

↓

double code(double re, double im) {
	double VAR;
	if ((re <= -7.54355007745476e+151)) {
		VAR = (0.5 * sqrt((2.0 * (im * (im / (-2.0 * re))))));
	} else {
		double VAR_1;
		if ((re <= 4.230880542796049e-298)) {
			VAR_1 = (0.5 * (sqrt(2.0) * fabs((im / sqrt((sqrt(((re * re) + (im * im))) - re))))));
		} else {
			double VAR_2;
			if ((re <= 3.3260699518720028e-192)) {
				VAR_2 = (0.5 * sqrt((2.0 * (im * (im / (im - re))))));
			} else {
				double VAR_3;
				if ((re <= 9.85515915791745e-94)) {
					VAR_3 = (0.5 * sqrt((2.0 * (im * (im / (sqrt(((re * re) + (im * im))) - re))))));
				} else {
					VAR_3 = (0.5 * sqrt((2.0 * (re + re))));
				}
				VAR_2 = VAR_3;
			}
			VAR_1 = VAR_2;
		}
		VAR = VAR_1;
	}
	return VAR;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original	37.7
Target	32.3
Herbie	22.4

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0.0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

1. Split input into 5 regimes

2. if re < -7.54355007745476e+151

   1. Initial program 63.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+ 63.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   4. Simplified 48.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
   5. Using strategy rm

   6. Applied *-un-lft-identity 48.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\color{blue}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}}}\]

   7. Applied times-frac 48.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{im}{1} \cdot \frac{im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)}}\]

   8. Simplified 48.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} \cdot \frac{im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)}\]

   9. Taylor expanded around -inf 23.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im \cdot \frac{im}{\color{blue}{-2 \cdot re}}\right)}\]

   if -7.54355007745476e+151 < re < 4.230880542796049e-298

   1. Initial program 39.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+ 39.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   4. Simplified 29.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
   5. Using strategy rm

   6. Applied add-sqr-sqrt 29.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}}\]

   7. Applied times-frac 27.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{im}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot \frac{im}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)}}\]
   8. Using strategy rm

   9. Applied sqrt-prod 27.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot \frac{im}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)}\]

   10. Simplified 19.8

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \color{blue}{\left|\frac{im}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right|}\right)\]

   if 4.230880542796049e-298 < re < 3.3260699518720028e-192

   1. Initial program 28.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+ 30.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   4. Simplified 30.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
   5. Using strategy rm

   6. Applied *-un-lft-identity 30.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\color{blue}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}}}\]

   7. Applied times-frac 30.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{im}{1} \cdot \frac{im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)}}\]

   8. Simplified 30.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} \cdot \frac{im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)}\]

   9. Taylor expanded around 0 35.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im \cdot \frac{im}{\color{blue}{im} - re}\right)}\]

   if 3.3260699518720028e-192 < re < 9.85515915791745e-94

   1. Initial program 18.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+ 32.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   4. Simplified 32.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
   5. Using strategy rm

   6. Applied *-un-lft-identity 32.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\color{blue}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}}}\]

   7. Applied times-frac 32.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{im}{1} \cdot \frac{im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)}}\]

   8. Simplified 32.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} \cdot \frac{im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)}\]

   if 9.85515915791745e-94 < re

   1. Initial program 33.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

   2. Taylor expanded around inf 19.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
3. Recombined 5 regimes into one program.

4. Final simplification 22.4

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -7.5435500774547602 \cdot 10^{151}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im \cdot \frac{im}{-2 \cdot re}\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 4.23088054279604859 \cdot 10^{-298}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \left|\frac{im}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right|\right)\\ \mathbf{elif}\;re \le 3.32606995187200277 \cdot 10^{-192}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im \cdot \frac{im}{im - re}\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 9.85515915791745069 \cdot 10^{-94}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im \cdot \frac{im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020092 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))