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Precision: 64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \le 0.0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \le 1.0012098144510107 \cdot 10^{-88}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-1 \cdot re - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \le 2.375084525545642 \cdot 10^{76}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \le 0.0:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\

\mathbf{elif}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \le 1.0012098144510107 \cdot 10^{-88}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-1 \cdot re - re\right)}\\

\mathbf{elif}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \le 2.375084525545642 \cdot 10^{76}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}}\right)\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\

\end{array}
double f(double re, double im) {
        double r14935 = 0.5;
        double r14936 = 2.0;
        double r14937 = re;
        double r14938 = r14937 * r14937;
        double r14939 = im;
        double r14940 = r14939 * r14939;
        double r14941 = r14938 + r14940;
        double r14942 = sqrt(r14941);
        double r14943 = r14942 - r14937;
        double r14944 = r14936 * r14943;
        double r14945 = sqrt(r14944);
        double r14946 = r14935 * r14945;
        return r14946;
}
↓
double f(double re, double im) {
        double r14947 = 2.0;
        double r14948 = re;
        double r14949 = r14948 * r14948;
        double r14950 = im;
        double r14951 = r14950 * r14950;
        double r14952 = r14949 + r14951;
        double r14953 = sqrt(r14952);
        double r14954 = r14953 - r14948;
        double r14955 = r14947 * r14954;
        double r14956 = sqrt(r14955);
        double r14957 = 0.0;
        bool r14958 = r14956 <= r14957;
        double r14959 = 0.5;
        double r14960 = 0.0;
        double r14961 = r14951 + r14960;
        double r14962 = r14948 + r14953;
        double r14963 = r14961 / r14962;
        double r14964 = r14947 * r14963;
        double r14965 = sqrt(r14964);
        double r14966 = r14959 * r14965;
        double r14967 = 1.0012098144510107e-88;
        bool r14968 = r14956 <= r14967;
        double r14969 = -1.0;
        double r14970 = r14969 * r14948;
        double r14971 = r14970 - r14948;
        double r14972 = r14947 * r14971;
        double r14973 = sqrt(r14972);
        double r14974 = r14959 * r14973;
        double r14975 = 2.375084525545642e+76;
        bool r14976 = r14956 <= r14975;
        double r14977 = sqrt(r14956);
        double r14978 = r14977 * r14977;
        double r14979 = r14959 * r14978;
        double r14980 = r14950 - r14948;
        double r14981 = r14947 * r14980;
        double r14982 = sqrt(r14981);
        double r14983 = r14959 * r14982;
        double r14984 = r14976 ? r14979 : r14983;
        double r14985 = r14968 ? r14974 : r14984;
        double r14986 = r14958 ? r14966 : r14985;
        return r14986;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))) < 0.0

    1. Initial program 57.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt57.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod59.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied flip--59.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re \cdot re}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re}}}\]

    7. Simplified30.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im + 0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re}}\]

    8. Simplified30.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{\color{blue}{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}}\]

    if 0.0 < (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))) < 1.0012098144510107e-88

    1. Initial program 54.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt54.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod54.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]

    5. Taylor expanded around -inf 33.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{-1 \cdot re} - re\right)}\]

    if 1.0012098144510107e-88 < (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))) < 2.375084525545642e+76

    1. Initial program 1.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt1.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}}\right)}\]

    if 2.375084525545642e+76 < (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))

    1. Initial program 63.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 44.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} - re\right)}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification26.5

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \le 0.0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \le 1.0012098144510107 \cdot 10^{-88}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-1 \cdot re - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \le 2.375084525545642 \cdot 10^{76}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020047 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  :precision binary64
  (* 0.5 (sqrt (* 2 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))