math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch

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Precision: binary64

Math

\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \le -2.12215751839599925 \cdot 10^{83}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-\left(re + im\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \le -1.5117392918292036 \cdot 10^{-117}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im}{\frac{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}{im}}}\\ \mathbf{elif}\;im \le 2.50786302766293632 \cdot 10^{-144}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-2 \cdot re\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \le 6.83329008864584602 \cdot 10^{-71}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Derivation

1. Split input into 5 regimes

2. if im < -2.1221575183959992e+83

   1. Initial program 49.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied add-sqr-sqrt 49.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]

   4. Applied sqrt-prod 49.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]
   5. Using strategy rm

   6. Applied add-exp-log 50.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)}}}\]
   7. Using strategy rm

   8. Applied flip-- 50.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot e^{\log \color{blue}{\left(\frac{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re \cdot re}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re}\right)}}}\]

   9. Applied log-div 50.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot e^{\color{blue}{\log \left(\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re \cdot re\right) - \log \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}}}\]

   10. Applied exp-diff 50.7

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{e^{\log \left(\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re \cdot re\right)}}{e^{\log \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}}}}\]

   11. Simplified 50.3

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im}}{e^{\log \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}}}\]

   12. Simplified 49.2

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\color{blue}{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}}\]

   13. Taylor expanded around -inf 10.5

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(-\left(re + im\right)\right)}}\]

   if -2.1221575183959992e+83 < im < -1.5117392918292036e-117

   1. Initial program 23.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied add-sqr-sqrt 23.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]

   4. Applied sqrt-prod 23.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]
   5. Using strategy rm

   6. Applied add-exp-log 25.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)}}}\]
   7. Using strategy rm

   8. Applied flip-- 32.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot e^{\log \color{blue}{\left(\frac{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re \cdot re}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re}\right)}}}\]

   9. Applied log-div 33.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot e^{\color{blue}{\log \left(\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re \cdot re\right) - \log \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}}}\]

   10. Applied exp-diff 33.3

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{e^{\log \left(\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re \cdot re\right)}}{e^{\log \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}}}}\]

   11. Simplified 26.0

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im}}{e^{\log \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}}}\]

   12. Simplified 24.1

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\color{blue}{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}}\]
   13. Using strategy rm

   14. Applied associate-/l* 24.1

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{im}{\frac{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}{im}}}}\]

   if -1.5117392918292036e-117 < im < 2.5078630276629363e-144

   1. Initial program 41.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

   2. Taylor expanded around -inf 36.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot re\right)}}\]

   if 2.5078630276629363e-144 < im < 6.833290088645846e-71

   1. Initial program 30.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied add-sqr-sqrt 30.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]

   4. Applied sqrt-prod 30.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]
   5. Using strategy rm

   6. Applied add-exp-log 32.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)}}}\]
   7. Using strategy rm

   8. Applied flip-- 43.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot e^{\log \color{blue}{\left(\frac{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re \cdot re}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re}\right)}}}\]

   9. Applied log-div 43.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot e^{\color{blue}{\log \left(\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re \cdot re\right) - \log \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}}}\]

   10. Applied exp-diff 43.8

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{e^{\log \left(\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re \cdot re\right)}}{e^{\log \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}}}}\]

   11. Simplified 33.6

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im}}{e^{\log \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}}}\]

   12. Simplified 31.8

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\color{blue}{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}}\]
   13. Using strategy rm

   14. Applied associate-*r/ 31.8

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}}\]

   15. Applied sqrt-div 29.0

       \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}}\]

   if 6.833290088645846e-71 < im

   1. Initial program 39.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

   2. Taylor expanded around 0 17.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} - re\right)}\]
3. Recombined 5 regimes into one program.

4. Final simplification 23.6

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \le -2.12215751839599925 \cdot 10^{83}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-\left(re + im\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \le -1.5117392918292036 \cdot 10^{-117}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im}{\frac{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}{im}}}\\ \mathbf{elif}\;im \le 2.50786302766293632 \cdot 10^{-144}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-2 \cdot re\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \le 6.83329008864584602 \cdot 10^{-71}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020148 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  :precision binary64
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))