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Precision: binary64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -1.5391970346231962 \cdot 10^{-190}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{{im}^{2}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le -8.8077348566019813 \cdot 10^{-295}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.29362631726006162 \cdot 10^{74}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \le -1.5391970346231962 \cdot 10^{-190}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{{im}^{2}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\

\mathbf{elif}\;re \le -8.8077348566019813 \cdot 10^{-295}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\

\mathbf{elif}\;re \le 1.29362631726006162 \cdot 10^{74}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re}\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\

\end{array}
double code(double re, double im) {
	return ((double) (0.5 * ((double) sqrt(((double) (2.0 * ((double) (((double) sqrt(((double) (((double) (re * re)) + ((double) (im * im)))))) + re))))))));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double VAR;
	if ((re <= -1.5391970346231962e-190)) {
		VAR = ((double) (0.5 * ((double) sqrt(((double) (2.0 * ((double) (((double) pow(im, 2.0)) / ((double) (((double) sqrt(((double) (((double) (re * re)) + ((double) (im * im)))))) - re))))))))));
	} else {
		double VAR_1;
		if ((re <= -8.807734856601981e-295)) {
			VAR_1 = ((double) (0.5 * ((double) sqrt(((double) (2.0 * ((double) (im + re))))))));
		} else {
			double VAR_2;
			if ((re <= 1.2936263172600616e+74)) {
				VAR_2 = ((double) (0.5 * ((double) sqrt(((double) (2.0 * ((double) (((double) (((double) cbrt(((double) (((double) (((double) sqrt(((double) sqrt(((double) (((double) (re * re)) + ((double) (im * im)))))))) * ((double) sqrt(((double) sqrt(((double) (((double) (re * re)) + ((double) (im * im)))))))))) + re)))) * ((double) cbrt(((double) (((double) (((double) sqrt(((double) sqrt(((double) (((double) (re * re)) + ((double) (im * im)))))))) * ((double) sqrt(((double) sqrt(((double) (((double) (re * re)) + ((double) (im * im)))))))))) + re)))))) * ((double) cbrt(((double) (((double) (((double) sqrt(((double) sqrt(((double) (((double) (re * re)) + ((double) (im * im)))))))) * ((double) sqrt(((double) sqrt(((double) (((double) (re * re)) + ((double) (im * im)))))))))) + re))))))))))));
			} else {
				VAR_2 = ((double) (0.5 * ((double) sqrt(((double) (2.0 * ((double) (re + re))))))));
			}
			VAR_1 = VAR_2;
		}
		VAR = VAR_1;
	}
	return VAR;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original38.7
Target33.8
Herbie27.8
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0.0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if re < -1.5391970346231962e-190

    1. Initial program 49.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+49.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Simplified37.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{{im}^{2}}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    if -1.5391970346231962e-190 < re < -8.8077348566019813e-295

    1. Initial program 32.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 36.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} + re\right)}\]

    if -8.8077348566019813e-295 < re < 1.29362631726006162e74

    1. Initial program 22.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt22.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod22.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied add-cube-cbrt22.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re}\right)}}\]

    if 1.29362631726006162e74 < re

    1. Initial program 47.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 13.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification27.8

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -1.5391970346231962 \cdot 10^{-190}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{{im}^{2}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le -8.8077348566019813 \cdot 10^{-295}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.29362631726006162 \cdot 10^{74}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020147 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2.0) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))