Average Error: 29.3 → 0.1
Time: 4.0s
Precision: 64
\[\log \left(N + 1\right) - \log N\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;N \le 8824.451921478636:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{N + 1}{N}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\frac{1}{{N}^{2}} \cdot \left(\frac{0.333333333333333315}{N} \cdot \frac{0.333333333333333315}{N} - 0.5 \cdot 0.5\right)\right) \cdot N + \left(\frac{0.333333333333333315}{N} + 0.5\right) \cdot 1}{\left(\frac{0.333333333333333315}{N} + 0.5\right) \cdot N}\\ \end{array}\]
\log \left(N + 1\right) - \log N
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;N \le 8824.451921478636:\\
\;\;\;\;\log \left(\frac{N + 1}{N}\right)\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\frac{\left(\frac{1}{{N}^{2}} \cdot \left(\frac{0.333333333333333315}{N} \cdot \frac{0.333333333333333315}{N} - 0.5 \cdot 0.5\right)\right) \cdot N + \left(\frac{0.333333333333333315}{N} + 0.5\right) \cdot 1}{\left(\frac{0.333333333333333315}{N} + 0.5\right) \cdot N}\\

\end{array}
double code(double N) {
	return (log((N + 1.0)) - log(N));
}
↓
double code(double N) {
	double VAR;
	if ((N <= 8824.451921478636)) {
		VAR = log(((N + 1.0) / N));
	} else {
		VAR = (((((1.0 / pow(N, 2.0)) * (((0.3333333333333333 / N) * (0.3333333333333333 / N)) - (0.5 * 0.5))) * N) + (((0.3333333333333333 / N) + 0.5) * 1.0)) / (((0.3333333333333333 / N) + 0.5) * N));
	}
	return VAR;
}

Error

Bits error versus N

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if N < 8824.451921478636

    1. Initial program 0.1

      \[\log \left(N + 1\right) - \log N\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied diff-log0.1

      \[\leadsto \color{blue}{\log \left(\frac{N + 1}{N}\right)}\]

    if 8824.451921478636 < N

    1. Initial program 59.4

      \[\log \left(N + 1\right) - \log N\]

    2. Taylor expanded around inf 0.0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.333333333333333315 \cdot \frac{1}{{N}^{3}} + 1 \cdot \frac{1}{N}\right) - 0.5 \cdot \frac{1}{{N}^{2}}}\]

    3. Simplified0.0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{{N}^{2}} \cdot \left(\frac{0.333333333333333315}{N} - 0.5\right) + \frac{1}{N}}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied flip--0.0

      \[\leadsto \frac{1}{{N}^{2}} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{0.333333333333333315}{N} \cdot \frac{0.333333333333333315}{N} - 0.5 \cdot 0.5}{\frac{0.333333333333333315}{N} + 0.5}} + \frac{1}{N}\]

    6. Applied associate-*r/0.0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{{N}^{2}} \cdot \left(\frac{0.333333333333333315}{N} \cdot \frac{0.333333333333333315}{N} - 0.5 \cdot 0.5\right)}{\frac{0.333333333333333315}{N} + 0.5}} + \frac{1}{N}\]

    7. Applied frac-add0.0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{{N}^{2}} \cdot \left(\frac{0.333333333333333315}{N} \cdot \frac{0.333333333333333315}{N} - 0.5 \cdot 0.5\right)\right) \cdot N + \left(\frac{0.333333333333333315}{N} + 0.5\right) \cdot 1}{\left(\frac{0.333333333333333315}{N} + 0.5\right) \cdot N}}\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification0.1

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;N \le 8824.451921478636:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{N + 1}{N}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\frac{1}{{N}^{2}} \cdot \left(\frac{0.333333333333333315}{N} \cdot \frac{0.333333333333333315}{N} - 0.5 \cdot 0.5\right)\right) \cdot N + \left(\frac{0.333333333333333315}{N} + 0.5\right) \cdot 1}{\left(\frac{0.333333333333333315}{N} + 0.5\right) \cdot N}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020106 
(FPCore (N)
  :name "2log (problem 3.3.6)"
  :precision binary64
  (- (log (+ N 1)) (log N)))