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Precision: 64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \le -1.684379693760117 \cdot 10^{129}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-\left(re + im\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \le -3.0800115097373951 \cdot 10^{-170}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \le 2.3261881441599813 \cdot 10^{-91}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-2 \cdot re\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \le 1.64228153272748097 \cdot 10^{-21}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \le 13216056275352606700:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-2 \cdot re\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \le 9.95846028332321272 \cdot 10^{87}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;im \le -1.684379693760117 \cdot 10^{129}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-\left(re + im\right)\right)}\\

\mathbf{elif}\;im \le -3.0800115097373951 \cdot 10^{-170}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\

\mathbf{elif}\;im \le 2.3261881441599813 \cdot 10^{-91}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-2 \cdot re\right)}\\

\mathbf{elif}\;im \le 1.64228153272748097 \cdot 10^{-21}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\

\mathbf{elif}\;im \le 13216056275352606700:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-2 \cdot re\right)}\\

\mathbf{elif}\;im \le 9.95846028332321272 \cdot 10^{87}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\

\end{array}
double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sqrt((2.0 * (sqrt(((re * re) + (im * im))) - re))));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double VAR;
	if ((im <= -1.684379693760117e+129)) {
		VAR = (0.5 * sqrt((2.0 * -(re + im))));
	} else {
		double VAR_1;
		if ((im <= -3.080011509737395e-170)) {
			VAR_1 = (0.5 * ((sqrt(2.0) * sqrt(sqrt((sqrt(((re * re) + (im * im))) - re)))) * sqrt(sqrt((sqrt(((re * re) + (im * im))) - re)))));
		} else {
			double VAR_2;
			if ((im <= 2.3261881441599813e-91)) {
				VAR_2 = (0.5 * sqrt((2.0 * (-2.0 * re))));
			} else {
				double VAR_3;
				if ((im <= 1.642281532727481e-21)) {
					VAR_3 = (0.5 * ((sqrt(2.0) * sqrt(sqrt((sqrt(((re * re) + (im * im))) - re)))) * sqrt(sqrt((sqrt(((re * re) + (im * im))) - re)))));
				} else {
					double VAR_4;
					if ((im <= 1.3216056275352607e+19)) {
						VAR_4 = (0.5 * sqrt((2.0 * (-2.0 * re))));
					} else {
						double VAR_5;
						if ((im <= 9.958460283323213e+87)) {
							VAR_5 = (0.5 * ((sqrt(2.0) * sqrt(sqrt((sqrt(((re * re) + (im * im))) - re)))) * sqrt(sqrt((sqrt(((re * re) + (im * im))) - re)))));
						} else {
							VAR_5 = (0.5 * sqrt((2.0 * (im - re))));
						}
						VAR_4 = VAR_5;
					}
					VAR_3 = VAR_4;
				}
				VAR_2 = VAR_3;
			}
			VAR_1 = VAR_2;
		}
		VAR = VAR_1;
	}
	return VAR;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if im < -1.684379693760117e+129

    1. Initial program 56.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip--56.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    4. Simplified56.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{{im}^{2}}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

    5. Taylor expanded around -inf 9.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(-\left(re + im\right)\right)}}\]

    if -1.684379693760117e+129 < im < -3.080011509737395e-170 or 2.3261881441599813e-91 < im < 1.642281532727481e-21 or 1.3216056275352607e+19 < im < 9.958460283323213e+87

    1. Initial program 22.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied sqrt-prod23.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied add-sqr-sqrt23.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\]

    6. Applied sqrt-prod23.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)}\right)\]

    7. Applied associate-*r*23.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)}\]

    if -3.080011509737395e-170 < im < 2.3261881441599813e-91 or 1.642281532727481e-21 < im < 1.3216056275352607e+19

    1. Initial program 38.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around -inf 36.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot re\right)}}\]

    if 9.958460283323213e+87 < im

    1. Initial program 50.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 11.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} - re\right)}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification23.4

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \le -1.684379693760117 \cdot 10^{129}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-\left(re + im\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \le -3.0800115097373951 \cdot 10^{-170}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \le 2.3261881441599813 \cdot 10^{-91}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-2 \cdot re\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \le 1.64228153272748097 \cdot 10^{-21}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \le 13216056275352606700:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-2 \cdot re\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \le 9.95846028332321272 \cdot 10^{87}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020106 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  :precision binary64
  (* 0.5 (sqrt (* 2 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))