math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch

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Precision: 64

Math

\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \le -2.214776213015991 \cdot 10^{31}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-\left(re + im\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \le -6.361555833725335 \cdot 10^{-119}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im \cdot \frac{im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \le -6.37051121919775368 \cdot 10^{-277}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-2 \cdot re\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \le -1.1809982177552133 \cdot 10^{-300}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im \cdot \frac{im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \le 6.60911944841320325 \cdot 10^{-159}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-2 \cdot re\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \le 1.52398690297424702 \cdot 10^{108}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot {im}^{2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \end{array}\]

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sqrt((2.0 * (sqrt(((re * re) + (im * im))) - re))));
}

↓

double code(double re, double im) {
	double VAR;
	if ((im <= -2.2147762130159914e+31)) {
		VAR = (0.5 * sqrt((2.0 * -(re + im))));
	} else {
		double VAR_1;
		if ((im <= -6.361555833725335e-119)) {
			VAR_1 = (0.5 * sqrt((2.0 * (im * (im / (sqrt(((re * re) + (im * im))) + re))))));
		} else {
			double VAR_2;
			if ((im <= -6.370511219197754e-277)) {
				VAR_2 = (0.5 * sqrt((2.0 * (-2.0 * re))));
			} else {
				double VAR_3;
				if ((im <= -1.1809982177552133e-300)) {
					VAR_3 = (0.5 * sqrt((2.0 * (im * (im / (sqrt(((re * re) + (im * im))) + re))))));
				} else {
					double VAR_4;
					if ((im <= 6.609119448413203e-159)) {
						VAR_4 = (0.5 * sqrt((2.0 * (-2.0 * re))));
					} else {
						double VAR_5;
						if ((im <= 1.523986902974247e+108)) {
							VAR_5 = (0.5 * (sqrt((2.0 * pow(im, 2.0))) / sqrt((sqrt(((re * re) + (im * im))) + re))));
						} else {
							VAR_5 = (0.5 * sqrt((2.0 * (im - re))));
						}
						VAR_4 = VAR_5;
					}
					VAR_3 = VAR_4;
				}
				VAR_2 = VAR_3;
			}
			VAR_1 = VAR_2;
		}
		VAR = VAR_1;
	}
	return VAR;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Derivation

1. Split input into 5 regimes

2. if im < -2.2147762130159914e+31

   1. Initial program 43.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-- 44.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   4. Simplified 43.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{{im}^{2}}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

   5. Taylor expanded around -inf 13.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(-\left(re + im\right)\right)}}\]

   if -2.2147762130159914e+31 < im < -6.361555833725335e-119 or -6.370511219197754e-277 < im < -1.1809982177552133e-300

   1. Initial program 28.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-- 39.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   4. Simplified 30.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{{im}^{2}}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]
   5. Using strategy rm

   6. Applied *-un-lft-identity 30.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{{im}^{2}}{\color{blue}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}}}\]

   7. Applied add-sqr-sqrt 64.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{{\color{blue}{\left(\sqrt{im} \cdot \sqrt{im}\right)}}^{2}}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}}\]

   8. Applied unpow-prod-down 64.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{{\left(\sqrt{im}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{im}\right)}^{2}}}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}}\]

   9. Applied times-frac 64.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{{\left(\sqrt{im}\right)}^{2}}{1} \cdot \frac{{\left(\sqrt{im}\right)}^{2}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}\right)}}\]

   10. Simplified 64.0

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} \cdot \frac{{\left(\sqrt{im}\right)}^{2}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}\right)}\]

   11. Simplified 30.2

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\frac{im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\right)}\]

   if -6.361555833725335e-119 < im < -6.370511219197754e-277 or -1.1809982177552133e-300 < im < 6.609119448413203e-159

   1. Initial program 42.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

   2. Taylor expanded around -inf 36.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot re\right)}}\]

   if 6.609119448413203e-159 < im < 1.523986902974247e+108

   1. Initial program 25.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-- 33.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   4. Simplified 25.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{{im}^{2}}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]
   5. Using strategy rm

   6. Applied associate-*r/ 25.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot {im}^{2}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   7. Applied sqrt-div 24.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot {im}^{2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   if 1.523986902974247e+108 < im

   1. Initial program 53.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

   2. Taylor expanded around 0 8.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} - re\right)}\]
3. Recombined 5 regimes into one program.

4. Final simplification 23.3

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \le -2.214776213015991 \cdot 10^{31}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-\left(re + im\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \le -6.361555833725335 \cdot 10^{-119}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im \cdot \frac{im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \le -6.37051121919775368 \cdot 10^{-277}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-2 \cdot re\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \le -1.1809982177552133 \cdot 10^{-300}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im \cdot \frac{im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \le 6.60911944841320325 \cdot 10^{-159}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-2 \cdot re\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \le 1.52398690297424702 \cdot 10^{108}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot {im}^{2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020105 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  :precision binary64
  (* 0.5 (sqrt (* 2 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))