math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch

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Precision: 64

Math

\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -6.25443431135417537 \cdot 10^{129}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-2 \cdot re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le -1.40477998933113187 \cdot 10^{-158}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le -5.1588184458085523 \cdot 10^{-304}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 2.1537425348704007 \cdot 10^{102}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2}} \cdot \left|\frac{im}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\right|\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \left|\frac{im}{\sqrt{re + re}}\right|\right)\\ \end{array}\]

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sqrt((2.0 * (sqrt(((re * re) + (im * im))) - re))));
}

↓

double code(double re, double im) {
	double VAR;
	if ((re <= -6.254434311354175e+129)) {
		VAR = (0.5 * sqrt((2.0 * (-2.0 * re))));
	} else {
		double VAR_1;
		if ((re <= -1.4047799893311319e-158)) {
			VAR_1 = (0.5 * sqrt((2.0 * ((sqrt(sqrt(((re * re) + (im * im)))) * sqrt(sqrt(((re * re) + (im * im))))) - re))));
		} else {
			double VAR_2;
			if ((re <= -5.158818445808552e-304)) {
				VAR_2 = (0.5 * sqrt((2.0 * (im - re))));
			} else {
				double VAR_3;
				if ((re <= 2.1537425348704007e+102)) {
					VAR_3 = (0.5 * (sqrt(sqrt(2.0)) * (sqrt(sqrt(2.0)) * fabs((im / sqrt((sqrt(((re * re) + (im * im))) + re)))))));
				} else {
					VAR_3 = (0.5 * (sqrt(2.0) * fabs((im / sqrt((re + re))))));
				}
				VAR_2 = VAR_3;
			}
			VAR_1 = VAR_2;
		}
		VAR = VAR_1;
	}
	return VAR;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Derivation

1. Split input into 5 regimes

2. if re < -6.254434311354175e+129

   1. Initial program 58.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

   2. Taylor expanded around -inf 9.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot re\right)}}\]

   if -6.254434311354175e+129 < re < -1.4047799893311319e-158

   1. Initial program 16.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied add-sqr-sqrt 16.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]

   4. Applied sqrt-prod 16.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]

   if -1.4047799893311319e-158 < re < -5.158818445808552e-304

   1. Initial program 29.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

   2. Taylor expanded around 0 34.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} - re\right)}\]

   if -5.158818445808552e-304 < re < 2.1537425348704007e+102

   1. Initial program 38.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-- 38.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   4. Simplified 31.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{{im}^{2}}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]
   5. Using strategy rm

   6. Applied add-sqr-sqrt 31.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{{im}^{2}}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}}\]

   7. Applied add-sqr-sqrt 47.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{{\color{blue}{\left(\sqrt{im} \cdot \sqrt{im}\right)}}^{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   8. Applied unpow-prod-down 47.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{{\left(\sqrt{im}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{im}\right)}^{2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   9. Applied times-frac 45.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{{\left(\sqrt{im}\right)}^{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}} \cdot \frac{{\left(\sqrt{im}\right)}^{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\right)}}\]

   10. Simplified 45.8

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{im}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}} \cdot \frac{{\left(\sqrt{im}\right)}^{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\right)}\]

   11. Simplified 28.9

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\frac{im}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}} \cdot \color{blue}{\frac{im}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\right)}\]
   12. Using strategy rm

   13. Applied sqrt-prod 29.0

       \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}} \cdot \frac{im}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\right)}\]

   14. Simplified 21.1

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \color{blue}{\left|\frac{im}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\right|}\right)\]
   15. Using strategy rm

   16. Applied add-sqr-sqrt 21.1

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}} \cdot \left|\frac{im}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\right|\right)\]

   17. Applied sqrt-prod 21.2

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{\sqrt{2}}\right)} \cdot \left|\frac{im}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\right|\right)\]

   18. Applied associate-*l* 21.1

       \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{2}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2}} \cdot \left|\frac{im}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\right|\right)\right)}\]

   if 2.1537425348704007e+102 < re

   1. Initial program 61.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-- 61.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   4. Simplified 46.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{{im}^{2}}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]
   5. Using strategy rm

   6. Applied add-sqr-sqrt 46.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{{im}^{2}}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}}\]

   7. Applied add-sqr-sqrt 55.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{{\color{blue}{\left(\sqrt{im} \cdot \sqrt{im}\right)}}^{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   8. Applied unpow-prod-down 55.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{{\left(\sqrt{im}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{im}\right)}^{2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   9. Applied times-frac 55.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{{\left(\sqrt{im}\right)}^{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}} \cdot \frac{{\left(\sqrt{im}\right)}^{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\right)}}\]

   10. Simplified 55.3

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{im}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}} \cdot \frac{{\left(\sqrt{im}\right)}^{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\right)}\]

   11. Simplified 46.3

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\frac{im}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}} \cdot \color{blue}{\frac{im}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\right)}\]
   12. Using strategy rm

   13. Applied sqrt-prod 46.3

       \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}} \cdot \frac{im}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\right)}\]

   14. Simplified 42.3

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \color{blue}{\left|\frac{im}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\right|}\right)\]

   15. Taylor expanded around inf 10.6

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \left|\frac{im}{\sqrt{\color{blue}{re} + re}}\right|\right)\]
3. Recombined 5 regimes into one program.

4. Final simplification 18.3

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -6.25443431135417537 \cdot 10^{129}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-2 \cdot re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le -1.40477998933113187 \cdot 10^{-158}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le -5.1588184458085523 \cdot 10^{-304}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 2.1537425348704007 \cdot 10^{102}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2}} \cdot \left|\frac{im}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\right|\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \left|\frac{im}{\sqrt{re + re}}\right|\right)\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020102 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  :precision binary64
  (* 0.5 (sqrt (* 2 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))