math.sqrt on complex, real part

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Precision: 64

Math

\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -2.7686009382789018 \cdot 10^{-165}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le -1.4898746708619831 \cdot 10^{-300}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 9.1215194727307037 \cdot 10^{101}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sqrt((2.0 * (sqrt(((re * re) + (im * im))) + re))));
}

↓

double code(double re, double im) {
	double VAR;
	if ((re <= -2.768600938278902e-165)) {
		VAR = (0.5 * sqrt((2.0 * ((im * im) / (sqrt(((re * re) + (im * im))) - re)))));
	} else {
		double VAR_1;
		if ((re <= -1.4898746708619831e-300)) {
			VAR_1 = (0.5 * sqrt((2.0 * (im + re))));
		} else {
			double VAR_2;
			if ((re <= 9.121519472730704e+101)) {
				VAR_2 = (0.5 * sqrt((2.0 * ((sqrt(sqrt(((re * re) + (im * im)))) * sqrt(sqrt(((re * re) + (im * im))))) + re))));
			} else {
				VAR_2 = (0.5 * sqrt((2.0 * (re + re))));
			}
			VAR_1 = VAR_2;
		}
		VAR = VAR_1;
	}
	return VAR;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original	38.5
Target	33.6
Herbie	27.4

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0.0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if re < -2.768600938278902e-165

   1. Initial program 49.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+ 49.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   4. Simplified 37.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

   if -2.768600938278902e-165 < re < -1.4898746708619831e-300

   1. Initial program 31.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

   2. Taylor expanded around 0 36.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} + re\right)}\]

   if -1.4898746708619831e-300 < re < 9.121519472730704e+101

   1. Initial program 21.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied add-sqr-sqrt 21.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

   4. Applied sqrt-prod 21.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

   if 9.121519472730704e+101 < re

   1. Initial program 52.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

   2. Taylor expanded around inf 10.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 27.4

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -2.7686009382789018 \cdot 10^{-165}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le -1.4898746708619831 \cdot 10^{-300}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 9.1215194727307037 \cdot 10^{101}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020102 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))