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Precision: 64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -2.77502973126125612 \cdot 10^{119}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-2 \cdot re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 2.51191004473425 \cdot 10^{-310}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{{im}^{2}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \le -2.77502973126125612 \cdot 10^{119}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-2 \cdot re\right)}\\

\mathbf{elif}\;re \le 2.51191004473425 \cdot 10^{-310}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{{im}^{2}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\\

\end{array}
double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sqrt((2.0 * (sqrt(((re * re) + (im * im))) - re))));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double VAR;
	if ((re <= -2.775029731261256e+119)) {
		VAR = (0.5 * sqrt((2.0 * (-2.0 * re))));
	} else {
		double VAR_1;
		if ((re <= 2.51191004473425e-310)) {
			VAR_1 = (0.5 * sqrt((2.0 * (sqrt(((cbrt(((re * re) + (im * im))) * cbrt(((re * re) + (im * im)))) * cbrt(((re * re) + (im * im))))) - re))));
		} else {
			VAR_1 = (0.5 * sqrt((2.0 * (pow(im, 2.0) / (sqrt(((re * re) + (im * im))) + re)))));
		}
		VAR = VAR_1;
	}
	return VAR;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if re < -2.775029731261256e+119

    1. Initial program 55.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around -inf 9.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot re\right)}}\]

    if -2.775029731261256e+119 < re < 2.51191004473425e-310

    1. Initial program 19.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-cube-cbrt20.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]

    if 2.51191004473425e-310 < re

    1. Initial program 46.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip--46.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    4. Simplified36.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{{im}^{2}}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification26.6

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -2.77502973126125612 \cdot 10^{119}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-2 \cdot re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 2.51191004473425 \cdot 10^{-310}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{{im}^{2}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020091 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  :precision binary64
  (* 0.5 (sqrt (* 2 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))