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Precision: 64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le 2.45726954728134287 \cdot 10^{-177}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{{im}^{2}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 9.6360086374685812 \cdot 10^{128}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \le 2.45726954728134287 \cdot 10^{-177}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{{im}^{2}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\

\mathbf{elif}\;re \le 9.6360086374685812 \cdot 10^{128}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re}\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\

\end{array}
double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sqrt((2.0 * (sqrt(((re * re) + (im * im))) + re))));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double VAR;
	if ((re <= 2.457269547281343e-177)) {
		VAR = (0.5 * sqrt((2.0 * (pow(im, 2.0) / (sqrt(((re * re) + (im * im))) - re)))));
	} else {
		double VAR_1;
		if ((re <= 9.636008637468581e+128)) {
			VAR_1 = (0.5 * sqrt((2.0 * ((cbrt(((sqrt(sqrt(((re * re) + (im * im)))) * sqrt(sqrt(((re * re) + (im * im))))) + re)) * cbrt(((sqrt(sqrt(((re * re) + (im * im)))) * sqrt(sqrt(((re * re) + (im * im))))) + re))) * cbrt(((sqrt(sqrt(((re * re) + (im * im)))) * sqrt(sqrt(((re * re) + (im * im))))) + re))))));
		} else {
			VAR_1 = (0.5 * sqrt((2.0 * (re + re))));
		}
		VAR = VAR_1;
	}
	return VAR;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original38.3
Target33.5
Herbie26.7
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0.0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if re < 2.457269547281343e-177

    1. Initial program 43.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+43.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Simplified35.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{{im}^{2}}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    if 2.457269547281343e-177 < re < 9.636008637468581e+128

    1. Initial program 15.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt15.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod15.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied add-cube-cbrt15.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re}\right)}}\]

    if 9.636008637468581e+128 < re

    1. Initial program 57.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 10.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification26.7

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le 2.45726954728134287 \cdot 10^{-177}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{{im}^{2}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 9.6360086374685812 \cdot 10^{128}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020091 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))