math.sqrt on complex, real part

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Precision: 64

Math

\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -7.30492565369862761 \cdot 10^{-169}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im - 0}{-1 \cdot re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\ \mathbf{elif}\;re \le -8.9396953920106285 \cdot 10^{-220}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + im\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.3380699708873314 \cdot 10^{-303}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im - 0}{-1 \cdot re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 4.6928008739591648 \cdot 10^{-163}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + im\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.2114863434718439 \cdot 10^{120}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt[3]{e^{\log \left({\left(\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\right)}^{3}\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(2 \cdot re\right)}\\ \end{array}\]

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sqrt((2.0 * (sqrt(((re * re) + (im * im))) + re))));
}

↓

double code(double re, double im) {
	double VAR;
	if ((re <= -7.304925653698628e-169)) {
		VAR = (0.5 * sqrt((2.0 * (((im * im) - 0.0) / ((-1.0 * re) + sqrt(((re * re) + (im * im))))))));
	} else {
		double VAR_1;
		if ((re <= -8.939695392010629e-220)) {
			VAR_1 = (0.5 * sqrt((2.0 * (re + im))));
		} else {
			double VAR_2;
			if ((re <= 1.3380699708873314e-303)) {
				VAR_2 = (0.5 * sqrt((2.0 * (((im * im) - 0.0) / ((-1.0 * re) + sqrt(((re * re) + (im * im))))))));
			} else {
				double VAR_3;
				if ((re <= 4.692800873959165e-163)) {
					VAR_3 = (0.5 * sqrt((2.0 * (re + im))));
				} else {
					double VAR_4;
					if ((re <= 1.2114863434718439e+120)) {
						VAR_4 = (0.5 * cbrt(exp(log(pow(sqrt((2.0 * (sqrt(((re * re) + (im * im))) + re))), 3.0)))));
					} else {
						VAR_4 = (0.5 * sqrt((2.0 * (2.0 * re))));
					}
					VAR_3 = VAR_4;
				}
				VAR_2 = VAR_3;
			}
			VAR_1 = VAR_2;
		}
		VAR = VAR_1;
	}
	return VAR;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original	38.7
Target	33.7
Herbie	27.9

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0.0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if re < -7.304925653698628e-169 or -8.939695392010629e-220 < re < 1.3380699708873314e-303

   1. Initial program 46.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied add-cube-cbrt 48.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
   4. Using strategy rm

   5. Applied flip-+ 47.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re \cdot re}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}}\]

   6. Simplified 35.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im - 0}}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}\]

   7. Simplified 35.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im - 0}{\color{blue}{-1 \cdot re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}}\]

   if -7.304925653698628e-169 < re < -8.939695392010629e-220 or 1.3380699708873314e-303 < re < 4.692800873959165e-163

   1. Initial program 29.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

   2. Taylor expanded around 0 34.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(re + im\right)}}\]

   if 4.692800873959165e-163 < re < 1.2114863434718439e+120

   1. Initial program 17.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied add-cbrt-cube 17.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}}}\]

   4. Simplified 17.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{{\left(\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\right)}^{3}}}\]
   5. Using strategy rm

   6. Applied add-exp-log 20.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt[3]{{\color{blue}{\left(e^{\log \left(\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\right)}\right)}}^{3}}\]

   7. Applied pow-exp 20.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\right) \cdot 3}}}\]

   8. Simplified 20.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt[3]{e^{\color{blue}{\log \left({\left(\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\right)}^{3}\right)}}}\]

   if 1.2114863434718439e+120 < re

   1. Initial program 55.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

   2. Taylor expanded around inf 9.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot re\right)}}\]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 27.9

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -7.30492565369862761 \cdot 10^{-169}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im - 0}{-1 \cdot re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\ \mathbf{elif}\;re \le -8.9396953920106285 \cdot 10^{-220}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + im\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.3380699708873314 \cdot 10^{-303}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im - 0}{-1 \cdot re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 4.6928008739591648 \cdot 10^{-163}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + im\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.2114863434718439 \cdot 10^{120}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt[3]{e^{\log \left({\left(\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\right)}^{3}\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(2 \cdot re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020078 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))