math.sqrt on complex, real part

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Precision: 64

Math

\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \le 0.0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\left|im\right| \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \le 1.1240760421685168 \cdot 10^{76}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{{im}^{1}}{\frac{im - re}{im}}}\\ \end{array}\]

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sqrt((2.0 * (sqrt(((re * re) + (im * im))) + re))));
}

↓

double code(double re, double im) {
	double VAR;
	if ((sqrt((2.0 * (sqrt(((re * re) + (im * im))) + re))) <= 0.0)) {
		VAR = (0.5 * ((fabs(im) * sqrt(2.0)) / sqrt((sqrt(((re * re) + (im * im))) - re))));
	} else {
		double VAR_1;
		if ((sqrt((2.0 * (sqrt(((re * re) + (im * im))) + re))) <= 1.1240760421685168e+76)) {
			VAR_1 = (0.5 * sqrt((2.0 * (sqrt(((re * re) + (im * im))) + re))));
		} else {
			VAR_1 = (0.5 * sqrt((2.0 * (pow(im, 1.0) / ((im - re) / im)))));
		}
		VAR = VAR_1;
	}
	return VAR;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original	38.7
Target	34.1
Herbie	21.7

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0.0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))) < 0.0

   1. Initial program 57.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+ 57.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   4. Simplified 33.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{{im}^{2}}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
   5. Using strategy rm

   6. Applied associate-*r/ 33.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot {im}^{2}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   7. Applied sqrt-div 28.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot {im}^{2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]
   8. Using strategy rm

   9. Applied *-commutative 28.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\color{blue}{{im}^{2} \cdot 2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

   10. Applied sqrt-prod 28.5

       \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{{im}^{2}} \cdot \sqrt{2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

   11. Simplified 0.5

       \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\left|im\right|} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

   if 0.0 < (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))) < 1.1240760421685168e+76

   1. Initial program 4.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

   if 1.1240760421685168e+76 < (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))

   1. Initial program 63.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+ 63.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   4. Simplified 59.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{{im}^{2}}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
   5. Using strategy rm

   6. Applied sqr-pow 59.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{{im}^{\left(\frac{2}{2}\right)} \cdot {im}^{\left(\frac{2}{2}\right)}}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

   7. Applied associate-/l* 58.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{{im}^{\left(\frac{2}{2}\right)}}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}{{im}^{\left(\frac{2}{2}\right)}}}}}\]

   8. Simplified 58.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{{im}^{\left(\frac{2}{2}\right)}}{\color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}{im}}}}\]

   9. Taylor expanded around 0 42.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{{im}^{\left(\frac{2}{2}\right)}}{\frac{\color{blue}{im} - re}{im}}}\]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 21.7

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \le 0.0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\left|im\right| \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \le 1.1240760421685168 \cdot 10^{76}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{{im}^{1}}{\frac{im - re}{im}}}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020071 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))