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Precision: 64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -5.41604933838216741 \cdot 10^{140}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-2 \cdot re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le -7.1192031386790852 \cdot 10^{-309}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \le -5.41604933838216741 \cdot 10^{140}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-2 \cdot re\right)}\\

\mathbf{elif}\;re \le -7.1192031386790852 \cdot 10^{-309}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\

\end{array}
double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sqrt((2.0 * (sqrt(((re * re) + (im * im))) - re))));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double temp;
	if ((re <= -5.416049338382167e+140)) {
		temp = (0.5 * sqrt((2.0 * (-2.0 * re))));
	} else {
		double temp_1;
		if ((re <= -7.119203138679085e-309)) {
			temp_1 = (0.5 * sqrt((2.0 * ((sqrt(sqrt(1.0)) * sqrt(((re * re) + (im * im)))) - re))));
		} else {
			temp_1 = (0.5 * sqrt((2.0 * (((im * im) + 0.0) / (re + sqrt(((re * re) + (im * im))))))));
		}
		temp = temp_1;
	}
	return temp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if re < -5.416049338382167e+140

    1. Initial program 60.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around -inf 8.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot re\right)}}\]

    if -5.416049338382167e+140 < re < -7.119203138679085e-309

    1. Initial program 20.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt20.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod20.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied *-un-lft-identity20.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot im\right)}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)}\]

    7. Applied *-un-lft-identity20.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + \color{blue}{\left(1 \cdot im\right)} \cdot \left(1 \cdot im\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)}\]

    8. Applied swap-sqr20.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + \color{blue}{\left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(im \cdot im\right)}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)}\]

    9. Applied *-un-lft-identity20.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot re\right)} + \left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(im \cdot im\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)}\]

    10. Applied *-un-lft-identity20.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\color{blue}{\left(1 \cdot re\right)} \cdot \left(1 \cdot re\right) + \left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(im \cdot im\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)}\]

    11. Applied swap-sqr20.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\color{blue}{\left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(re \cdot re\right)} + \left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(im \cdot im\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)}\]

    12. Applied distribute-lft-out20.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\color{blue}{\left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(re \cdot re + im \cdot im\right)}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)}\]

    13. Applied sqrt-prod20.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{1 \cdot 1} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)}\]

    14. Applied sqrt-prod20.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{1 \cdot 1}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)}\]

    15. Applied associate-*l*20.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{1 \cdot 1}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)} - re\right)}\]

    16. Simplified20.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{1 \cdot 1}} \cdot \color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)}\]

    if -7.119203138679085e-309 < re

    1. Initial program 45.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt45.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod46.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied flip--46.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re \cdot re}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re}}}\]

    7. Simplified35.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im + 0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re}}\]

    8. Simplified35.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{\color{blue}{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}}\]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification26.0

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -5.41604933838216741 \cdot 10^{140}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-2 \cdot re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le -7.1192031386790852 \cdot 10^{-309}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020066 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  :precision binary64
  (* 0.5 (sqrt (* 2 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))