math.sqrt on complex, real part

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Precision: 64

Math

\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -2.97507766284172996 \cdot 10^{141}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot \frac{im}{\frac{-2 \cdot re}{im}}\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 5.2927171228019338 \cdot 10^{-275}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot \frac{im}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + -1 \cdot re}{im}}\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.4134443734559052 \cdot 10^{102}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(2 \cdot re\right)}\\ \end{array}\]

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sqrt((2.0 * (sqrt(((re * re) + (im * im))) + re))));
}

↓

double code(double re, double im) {
	double temp;
	if ((re <= -2.97507766284173e+141)) {
		temp = (0.5 * sqrt((2.0 * (1.0 * (im / ((-2.0 * re) / im))))));
	} else {
		double temp_1;
		if ((re <= 5.292717122801934e-275)) {
			temp_1 = (0.5 * sqrt((2.0 * (1.0 * (im / ((sqrt(((re * re) + (im * im))) + (-1.0 * re)) / im))))));
		} else {
			double temp_2;
			if ((re <= 1.4134443734559052e+102)) {
				temp_2 = (0.5 * sqrt((2.0 * (sqrt(((re * re) + (im * im))) + re))));
			} else {
				temp_2 = (0.5 * sqrt((2.0 * (2.0 * re))));
			}
			temp_1 = temp_2;
		}
		temp = temp_1;
	}
	return temp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original	38.3
Target	33.2
Herbie	22.1

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0.0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if re < -2.97507766284173e+141

   1. Initial program 63.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied add-sqr-sqrt 63.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

   4. Applied sqrt-prod 63.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
   5. Using strategy rm

   6. Applied flip-+ 63.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re \cdot re}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}}\]

   7. Simplified 48.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im + 0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}\]

   8. Simplified 48.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + -1 \cdot re}}}\]
   9. Using strategy rm

   10. Applied *-un-lft-identity 48.2

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{\color{blue}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + -1 \cdot re\right)}}}\]

   11. Applied *-un-lft-identity 48.2

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{1 \cdot \left(im \cdot im + 0\right)}}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + -1 \cdot re\right)}}\]

   12. Applied times-frac 48.2

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{1} \cdot \frac{im \cdot im + 0}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + -1 \cdot re}\right)}}\]

   13. Simplified 48.2

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{1} \cdot \frac{im \cdot im + 0}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + -1 \cdot re}\right)}\]

   14. Simplified 47.8

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot \color{blue}{\frac{im}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + -1 \cdot re}{im}}}\right)}\]

   15. Taylor expanded around -inf 23.4

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot \frac{im}{\frac{\color{blue}{-2 \cdot re}}{im}}\right)}\]

   if -2.97507766284173e+141 < re < 5.292717122801934e-275

   1. Initial program 38.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied add-sqr-sqrt 38.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

   4. Applied sqrt-prod 39.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
   5. Using strategy rm

   6. Applied flip-+ 39.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re \cdot re}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}}\]

   7. Simplified 30.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im + 0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}\]

   8. Simplified 30.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + -1 \cdot re}}}\]
   9. Using strategy rm

   10. Applied *-un-lft-identity 30.7

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{\color{blue}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + -1 \cdot re\right)}}}\]

   11. Applied *-un-lft-identity 30.7

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{1 \cdot \left(im \cdot im + 0\right)}}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + -1 \cdot re\right)}}\]

   12. Applied times-frac 30.7

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{1} \cdot \frac{im \cdot im + 0}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + -1 \cdot re}\right)}}\]

   13. Simplified 30.7

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{1} \cdot \frac{im \cdot im + 0}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + -1 \cdot re}\right)}\]

   14. Simplified 29.0

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot \color{blue}{\frac{im}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + -1 \cdot re}{im}}}\right)}\]

   if 5.292717122801934e-275 < re < 1.4134443734559052e+102

   1. Initial program 19.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

   if 1.4134443734559052e+102 < re

   1. Initial program 51.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied add-sqr-sqrt 51.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

   4. Applied sqrt-prod 51.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
   5. Using strategy rm

   6. Applied flip-+ 61.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re \cdot re}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}}\]

   7. Simplified 62.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im + 0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}\]

   8. Simplified 62.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + -1 \cdot re}}}\]

   9. Taylor expanded around 0 9.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot re\right)}}\]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 22.1

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -2.97507766284172996 \cdot 10^{141}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot \frac{im}{\frac{-2 \cdot re}{im}}\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 5.2927171228019338 \cdot 10^{-275}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot \frac{im}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + -1 \cdot re}{im}}\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.4134443734559052 \cdot 10^{102}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(2 \cdot re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020066 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))