math.sqrt on complex, real part

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Precision: 64

Math

\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -1.3108523098680432 \cdot 10^{59}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im \cdot \frac{im}{-2 \cdot re}\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 3.6035593495046581 \cdot 10^{-239}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im \cdot \frac{im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 3.7629938528630668 \cdot 10^{58}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(2 \cdot re\right)}\\ \end{array}\]

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sqrt((2.0 * (sqrt(((re * re) + (im * im))) + re))));
}

↓

double code(double re, double im) {
	double temp;
	if ((re <= -1.3108523098680432e+59)) {
		temp = (0.5 * sqrt((2.0 * (im * (im / (-2.0 * re))))));
	} else {
		double temp_1;
		if ((re <= 3.603559349504658e-239)) {
			temp_1 = (0.5 * sqrt((2.0 * (im * (im / (sqrt(((re * re) + (im * im))) - re))))));
		} else {
			double temp_2;
			if ((re <= 3.762993852863067e+58)) {
				temp_2 = (0.5 * sqrt((2.0 * (((cbrt(sqrt(((re * re) + (im * im)))) * cbrt(sqrt(((re * re) + (im * im))))) * cbrt(sqrt(((re * re) + (im * im))))) + re))));
			} else {
				temp_2 = (0.5 * sqrt((2.0 * (2.0 * re))));
			}
			temp_1 = temp_2;
		}
		temp = temp_1;
	}
	return temp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original	38.6
Target	33.5
Herbie	22.7

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0.0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if re < -1.3108523098680432e+59

   1. Initial program 59.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+ 59.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   4. Simplified 43.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{{im}^{2}}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
   5. Using strategy rm

   6. Applied *-un-lft-identity 43.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{{im}^{2}}{\color{blue}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}}}\]

   7. Applied add-sqr-sqrt 53.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{{\color{blue}{\left(\sqrt{im} \cdot \sqrt{im}\right)}}^{2}}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}}\]

   8. Applied unpow-prod-down 53.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{{\left(\sqrt{im}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{im}\right)}^{2}}}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}}\]

   9. Applied times-frac 52.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{{\left(\sqrt{im}\right)}^{2}}{1} \cdot \frac{{\left(\sqrt{im}\right)}^{2}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)}}\]

   10. Simplified 52.8

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} \cdot \frac{{\left(\sqrt{im}\right)}^{2}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)}\]

   11. Simplified 43.1

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\frac{im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)}\]

   12. Taylor expanded around -inf 27.6

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im \cdot \frac{im}{\color{blue}{-2 \cdot re}}\right)}\]

   if -1.3108523098680432e+59 < re < 3.603559349504658e-239

   1. Initial program 35.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+ 35.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   4. Simplified 30.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{{im}^{2}}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
   5. Using strategy rm

   6. Applied *-un-lft-identity 30.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{{im}^{2}}{\color{blue}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}}}\]

   7. Applied add-sqr-sqrt 47.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{{\color{blue}{\left(\sqrt{im} \cdot \sqrt{im}\right)}}^{2}}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}}\]

   8. Applied unpow-prod-down 47.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{{\left(\sqrt{im}\right)}^{2} \cdot {\left(\sqrt{im}\right)}^{2}}}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}}\]

   9. Applied times-frac 46.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{{\left(\sqrt{im}\right)}^{2}}{1} \cdot \frac{{\left(\sqrt{im}\right)}^{2}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)}}\]

   10. Simplified 46.7

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} \cdot \frac{{\left(\sqrt{im}\right)}^{2}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)}\]

   11. Simplified 28.2

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\frac{im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)}\]

   if 3.603559349504658e-239 < re < 3.762993852863067e+58

   1. Initial program 18.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied add-cube-cbrt 19.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

   if 3.762993852863067e+58 < re

   1. Initial program 45.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

   2. Taylor expanded around inf 12.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot re\right)}}\]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 22.7

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -1.3108523098680432 \cdot 10^{59}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im \cdot \frac{im}{-2 \cdot re}\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 3.6035593495046581 \cdot 10^{-239}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im \cdot \frac{im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 3.7629938528630668 \cdot 10^{58}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(2 \cdot re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020058 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))