Average Error: 38.7 → 21.0
Time: 4.1s
Precision: 64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -4.34046224677095251 \cdot 10^{149}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{-2 \cdot re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le -2.02785725229385748 \cdot 10^{-184}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \left|\frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + -1 \cdot re}}\right|\right)\\ \mathbf{elif}\;re \le -1.0150073241706023 \cdot 10^{-273}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.54087667976783686 \cdot 10^{126}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(2 \cdot re\right)}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \le -4.34046224677095251 \cdot 10^{149}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{-2 \cdot re}}\\

\mathbf{elif}\;re \le -2.02785725229385748 \cdot 10^{-184}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \left|\frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + -1 \cdot re}}\right|\right)\\

\mathbf{elif}\;re \le -1.0150073241706023 \cdot 10^{-273}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\

\mathbf{elif}\;re \le 1.54087667976783686 \cdot 10^{126}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(2 \cdot re\right)}\\

\end{array}
double f(double re, double im) {
        double r205128 = 0.5;
        double r205129 = 2.0;
        double r205130 = re;
        double r205131 = r205130 * r205130;
        double r205132 = im;
        double r205133 = r205132 * r205132;
        double r205134 = r205131 + r205133;
        double r205135 = sqrt(r205134);
        double r205136 = r205135 + r205130;
        double r205137 = r205129 * r205136;
        double r205138 = sqrt(r205137);
        double r205139 = r205128 * r205138;
        return r205139;
}
↓
double f(double re, double im) {
        double r205140 = re;
        double r205141 = -4.3404622467709525e+149;
        bool r205142 = r205140 <= r205141;
        double r205143 = 0.5;
        double r205144 = 2.0;
        double r205145 = im;
        double r205146 = r205145 * r205145;
        double r205147 = 0.0;
        double r205148 = r205146 + r205147;
        double r205149 = -2.0;
        double r205150 = r205149 * r205140;
        double r205151 = r205148 / r205150;
        double r205152 = r205144 * r205151;
        double r205153 = sqrt(r205152);
        double r205154 = r205143 * r205153;
        double r205155 = -2.0278572522938575e-184;
        bool r205156 = r205140 <= r205155;
        double r205157 = sqrt(r205144);
        double r205158 = fabs(r205145);
        double r205159 = r205140 * r205140;
        double r205160 = r205159 + r205146;
        double r205161 = sqrt(r205160);
        double r205162 = -1.0;
        double r205163 = r205162 * r205140;
        double r205164 = r205161 + r205163;
        double r205165 = sqrt(r205164);
        double r205166 = r205158 / r205165;
        double r205167 = fabs(r205166);
        double r205168 = r205157 * r205167;
        double r205169 = r205143 * r205168;
        double r205170 = -1.0150073241706023e-273;
        bool r205171 = r205140 <= r205170;
        double r205172 = r205145 + r205140;
        double r205173 = r205144 * r205172;
        double r205174 = sqrt(r205173);
        double r205175 = r205143 * r205174;
        double r205176 = 1.540876679767837e+126;
        bool r205177 = r205140 <= r205176;
        double r205178 = r205161 + r205140;
        double r205179 = r205144 * r205178;
        double r205180 = sqrt(r205179);
        double r205181 = r205143 * r205180;
        double r205182 = 2.0;
        double r205183 = r205182 * r205140;
        double r205184 = r205144 * r205183;
        double r205185 = sqrt(r205184);
        double r205186 = r205143 * r205185;
        double r205187 = r205177 ? r205181 : r205186;
        double r205188 = r205171 ? r205175 : r205187;
        double r205189 = r205156 ? r205169 : r205188;
        double r205190 = r205142 ? r205154 : r205189;
        return r205190;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original38.7
Target33.5
Herbie21.0
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0.0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 5 regimes

  2. if re < -4.3404622467709525e+149

    1. Initial program 63.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt63.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod63.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied flip-+63.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re \cdot re}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}}\]

    7. Simplified51.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im + 0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}\]

    8. Simplified51.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + -1 \cdot re}}}\]

    9. Taylor expanded around -inf 31.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{\color{blue}{-2 \cdot re}}}\]

    if -4.3404622467709525e+149 < re < -2.0278572522938575e-184

    1. Initial program 41.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt41.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod42.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied flip-+42.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re \cdot re}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}}\]

    7. Simplified28.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im + 0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}\]

    8. Simplified28.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + -1 \cdot re}}}\]
    9. Using strategy rm

    10. Applied add-sqr-sqrt28.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + -1 \cdot re} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + -1 \cdot re}}}}\]

    11. Applied add-sqr-sqrt28.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot im + 0} \cdot \sqrt{im \cdot im + 0}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + -1 \cdot re} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + -1 \cdot re}}}\]

    12. Applied times-frac28.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{im \cdot im + 0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + -1 \cdot re}} \cdot \frac{\sqrt{im \cdot im + 0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + -1 \cdot re}}\right)}}\]

    13. Simplified28.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + -1 \cdot re}}} \cdot \frac{\sqrt{im \cdot im + 0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + -1 \cdot re}}\right)}\]

    14. Simplified25.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + -1 \cdot re}} \cdot \color{blue}{\frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + -1 \cdot re}}}\right)}\]
    15. Using strategy rm

    16. Applied sqrt-prod25.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + -1 \cdot re}} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + -1 \cdot re}}}\right)}\]

    17. Simplified15.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \color{blue}{\left|\frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + -1 \cdot re}}\right|}\right)\]

    if -2.0278572522938575e-184 < re < -1.0150073241706023e-273

    1. Initial program 31.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt31.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod31.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    5. Taylor expanded around 0 37.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} + re\right)}\]

    if -1.0150073241706023e-273 < re < 1.540876679767837e+126

    1. Initial program 22.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    if 1.540876679767837e+126 < re

    1. Initial program 56.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 10.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot re\right)}}\]
  3. Recombined 5 regimes into one program.

  4. Final simplification21.0

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -4.34046224677095251 \cdot 10^{149}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{-2 \cdot re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le -2.02785725229385748 \cdot 10^{-184}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \left|\frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + -1 \cdot re}}\right|\right)\\ \mathbf{elif}\;re \le -1.0150073241706023 \cdot 10^{-273}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.54087667976783686 \cdot 10^{126}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(2 \cdot re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020056 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))