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Precision: 64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -1.3292876332401679 \cdot 10^{154}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{{im}^{2}}{-1 \cdot re - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le -5.6728184339792675 \cdot 10^{-217}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot {im}^{2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 9.4050142837402566 \cdot 10^{-241}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 2.767313346343574 \cdot 10^{79}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)} + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \le -1.3292876332401679 \cdot 10^{154}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{{im}^{2}}{-1 \cdot re - re}}\\

\mathbf{elif}\;re \le -5.6728184339792675 \cdot 10^{-217}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot {im}^{2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\

\mathbf{elif}\;re \le 9.4050142837402566 \cdot 10^{-241}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\

\mathbf{elif}\;re \le 2.767313346343574 \cdot 10^{79}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)} + re\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\

\end{array}
double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sqrt((2.0 * (sqrt(((re * re) + (im * im))) + re))));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double temp;
	if ((re <= -1.3292876332401679e+154)) {
		temp = (0.5 * sqrt((2.0 * (pow(im, 2.0) / ((-1.0 * re) - re)))));
	} else {
		double temp_1;
		if ((re <= -5.6728184339792675e-217)) {
			temp_1 = (0.5 * (sqrt((2.0 * pow(im, 2.0))) / sqrt((sqrt(((re * re) + (im * im))) - re))));
		} else {
			double temp_2;
			if ((re <= 9.405014283740257e-241)) {
				temp_2 = (0.5 * sqrt((2.0 * (im + re))));
			} else {
				double temp_3;
				if ((re <= 2.767313346343574e+79)) {
					temp_3 = (0.5 * sqrt((2.0 * (sqrt((sqrt(((re * re) + (im * im))) * (sqrt(sqrt(((re * re) + (im * im)))) * sqrt(sqrt(((re * re) + (im * im))))))) + re))));
				} else {
					temp_3 = (0.5 * sqrt((2.0 * (re + re))));
				}
				temp_2 = temp_3;
			}
			temp_1 = temp_2;
		}
		temp = temp_1;
	}
	return temp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original38.7
Target33.7
Herbie24.2
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0.0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 5 regimes

  2. if re < -1.3292876332401679e+154

    1. Initial program 64.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+64.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Simplified50.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{{im}^{2}}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    5. Taylor expanded around -inf 31.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{{im}^{2}}{\color{blue}{-1 \cdot re} - re}}\]

    if -1.3292876332401679e+154 < re < -5.6728184339792675e-217

    1. Initial program 42.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+42.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Simplified30.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{{im}^{2}}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied associate-*r/30.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot {im}^{2}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    7. Applied sqrt-div29.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot {im}^{2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    if -5.6728184339792675e-217 < re < 9.405014283740257e-241

    1. Initial program 32.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 33.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} + re\right)}\]

    if 9.405014283740257e-241 < re < 2.767313346343574e+79

    1. Initial program 19.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt19.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied add-sqr-sqrt19.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}} + re\right)}\]

    6. Applied sqrt-prod19.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)}} + re\right)}\]

    if 2.767313346343574e+79 < re

    1. Initial program 48.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 11.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
  3. Recombined 5 regimes into one program.

  4. Final simplification24.2

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -1.3292876332401679 \cdot 10^{154}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{{im}^{2}}{-1 \cdot re - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le -5.6728184339792675 \cdot 10^{-217}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot {im}^{2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 9.4050142837402566 \cdot 10^{-241}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 2.767313346343574 \cdot 10^{79}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)} + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020053 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))