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\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -6.4851444497691187 \cdot 10^{83}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-2 \cdot re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 9.19480309029371711 \cdot 10^{-296}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 3.29386860837205705 \cdot 10^{-252}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{{im}^{2}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \le -6.4851444497691187 \cdot 10^{83}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-2 \cdot re\right)}\\

\mathbf{elif}\;re \le 9.19480309029371711 \cdot 10^{-296}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)}\\

\mathbf{elif}\;re \le 3.29386860837205705 \cdot 10^{-252}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{{im}^{2}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\\

\end{array}
double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sqrt((2.0 * (sqrt(((re * re) + (im * im))) - re))));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double temp;
	if ((re <= -6.485144449769119e+83)) {
		temp = (0.5 * sqrt((2.0 * (-2.0 * re))));
	} else {
		double temp_1;
		if ((re <= 9.194803090293717e-296)) {
			temp_1 = (0.5 * sqrt((2.0 * (sqrt((sqrt(((re * re) + (im * im))) - re)) * sqrt((sqrt(((re * re) + (im * im))) - re))))));
		} else {
			double temp_2;
			if ((re <= 3.293868608372057e-252)) {
				temp_2 = (0.5 * sqrt((2.0 * (im - re))));
			} else {
				temp_2 = (0.5 * sqrt((2.0 * (pow(im, 2.0) / (sqrt(((re * re) + (im * im))) + re)))));
			}
			temp_1 = temp_2;
		}
		temp = temp_1;
	}
	return temp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if re < -6.485144449769119e+83

    1. Initial program 49.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around -inf 11.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot re\right)}}\]

    if -6.485144449769119e+83 < re < 9.194803090293717e-296

    1. Initial program 21.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt21.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)}}\]

    if 9.194803090293717e-296 < re < 3.293868608372057e-252

    1. Initial program 34.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 32.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} - re\right)}\]

    if 3.293868608372057e-252 < re

    1. Initial program 48.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip--48.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    4. Simplified36.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{{im}^{2}}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification26.8

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -6.4851444497691187 \cdot 10^{83}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-2 \cdot re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 9.19480309029371711 \cdot 10^{-296}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 3.29386860837205705 \cdot 10^{-252}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{{im}^{2}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020049 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  :precision binary64
  (* 0.5 (sqrt (* 2 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))