math.sqrt on complex, real part

Average Error: 39.1 → 22.9

Time: 7.3s

Precision: 64

• Falling back on racket egraph because egg-herbie package not installed

Math

\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -1.3657760091869803 \cdot 10^{154}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \frac{\left|im\right|}{\left(-re\right) - re}\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le -4.5405452937718227 \cdot 10^{-275}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot {\left(\left|im\right|\right)}^{2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.27662858127337166 \cdot 10^{-281}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \frac{\left|im\right|}{im - re}\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.5366724406791122 \cdot 10^{106}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(2 \cdot re\right)}\\ \end{array}\]

C

double f(double re, double im) {
        double r192841 = 0.5;
        double r192842 = 2.0;
        double r192843 = re;
        double r192844 = r192843 * r192843;
        double r192845 = im;
        double r192846 = r192845 * r192845;
        double r192847 = r192844 + r192846;
        double r192848 = sqrt(r192847);
        double r192849 = r192848 + r192843;
        double r192850 = r192842 * r192849;
        double r192851 = sqrt(r192850);
        double r192852 = r192841 * r192851;
        return r192852;
}

↓

double f(double re, double im) {
        double r192853 = re;
        double r192854 = -1.3657760091869803e+154;
        bool r192855 = r192853 <= r192854;
        double r192856 = 0.5;
        double r192857 = 2.0;
        double r192858 = im;
        double r192859 = fabs(r192858);
        double r192860 = -r192853;
        double r192861 = r192860 - r192853;
        double r192862 = r192859 / r192861;
        double r192863 = r192859 * r192862;
        double r192864 = r192857 * r192863;
        double r192865 = sqrt(r192864);
        double r192866 = r192856 * r192865;
        double r192867 = -4.540545293771823e-275;
        bool r192868 = r192853 <= r192867;
        double r192869 = 2.0;
        double r192870 = pow(r192859, r192869);
        double r192871 = r192857 * r192870;
        double r192872 = sqrt(r192871);
        double r192873 = r192853 * r192853;
        double r192874 = r192858 * r192858;
        double r192875 = r192873 + r192874;
        double r192876 = sqrt(r192875);
        double r192877 = r192876 - r192853;
        double r192878 = sqrt(r192877);
        double r192879 = r192872 / r192878;
        double r192880 = r192856 * r192879;
        double r192881 = 1.2766285812733717e-281;
        bool r192882 = r192853 <= r192881;
        double r192883 = r192858 - r192853;
        double r192884 = r192859 / r192883;
        double r192885 = r192859 * r192884;
        double r192886 = r192857 * r192885;
        double r192887 = sqrt(r192886);
        double r192888 = r192856 * r192887;
        double r192889 = 1.5366724406791122e+106;
        bool r192890 = r192853 <= r192889;
        double r192891 = sqrt(r192876);
        double r192892 = r192891 * r192891;
        double r192893 = r192892 + r192853;
        double r192894 = r192857 * r192893;
        double r192895 = sqrt(r192894);
        double r192896 = r192856 * r192895;
        double r192897 = r192869 * r192853;
        double r192898 = r192857 * r192897;
        double r192899 = sqrt(r192898);
        double r192900 = r192856 * r192899;
        double r192901 = r192890 ? r192896 : r192900;
        double r192902 = r192882 ? r192888 : r192901;
        double r192903 = r192868 ? r192880 : r192902;
        double r192904 = r192855 ? r192866 : r192903;
        return r192904;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original	39.1
Target	34.1
Herbie	22.9

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0.0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

1. Split input into 5 regimes

2. if re < -1.3657760091869803e+154

   1. Initial program 64.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied add-sqr-sqrt 64.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

   4. Applied sqrt-prod 64.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
   5. Using strategy rm

   6. Applied flip-+ 64.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re \cdot re}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}}\]

   7. Simplified 50.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im + 0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}\]

   8. Simplified 50.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]
   9. Using strategy rm

   10. Applied *-un-lft-identity 50.6

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{\color{blue}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}}}\]

   11. Applied add-sqr-sqrt 50.6

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot im + 0} \cdot \sqrt{im \cdot im + 0}}}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}}\]

   12. Applied times-frac 50.6

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{im \cdot im + 0}}{1} \cdot \frac{\sqrt{im \cdot im + 0}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)}}\]

   13. Simplified 50.6

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left|im\right|} \cdot \frac{\sqrt{im \cdot im + 0}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)}\]

   14. Simplified 50.2

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \color{blue}{\frac{\left|im\right|}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)}\]

   15. Taylor expanded around -inf 22.8

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \frac{\left|im\right|}{\color{blue}{-1 \cdot re} - re}\right)}\]

   16. Simplified 22.8

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \frac{\left|im\right|}{\color{blue}{\left(-re\right)} - re}\right)}\]

   if -1.3657760091869803e+154 < re < -4.540545293771823e-275

   1. Initial program 41.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied add-sqr-sqrt 41.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

   4. Applied sqrt-prod 42.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
   5. Using strategy rm

   6. Applied flip-+ 41.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re \cdot re}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}}\]

   7. Simplified 31.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im + 0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}\]

   8. Simplified 31.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]
   9. Using strategy rm

   10. Applied *-un-lft-identity 31.4

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{\color{blue}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}}}\]

   11. Applied add-sqr-sqrt 31.4

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot im + 0} \cdot \sqrt{im \cdot im + 0}}}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}}\]

   12. Applied times-frac 31.3

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{im \cdot im + 0}}{1} \cdot \frac{\sqrt{im \cdot im + 0}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)}}\]

   13. Simplified 31.3

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left|im\right|} \cdot \frac{\sqrt{im \cdot im + 0}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)}\]

   14. Simplified 29.2

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \color{blue}{\frac{\left|im\right|}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)}\]
   15. Using strategy rm

   16. Applied associate-*r/ 31.4

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\left|im\right| \cdot \left|im\right|}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   17. Applied associate-*r/ 31.4

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \left|im\right|\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   18. Applied sqrt-div 30.0

       \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \left|im\right|\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   19. Simplified 30.0

       \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2 \cdot {\left(\left|im\right|\right)}^{2}}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

   if -4.540545293771823e-275 < re < 1.2766285812733717e-281

   1. Initial program 32.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied add-sqr-sqrt 32.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

   4. Applied sqrt-prod 32.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
   5. Using strategy rm

   6. Applied flip-+ 32.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re \cdot re}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}}\]

   7. Simplified 32.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im + 0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}\]

   8. Simplified 32.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]
   9. Using strategy rm

   10. Applied *-un-lft-identity 32.4

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{\color{blue}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}}}\]

   11. Applied add-sqr-sqrt 32.4

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot im + 0} \cdot \sqrt{im \cdot im + 0}}}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}}\]

   12. Applied times-frac 32.4

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{im \cdot im + 0}}{1} \cdot \frac{\sqrt{im \cdot im + 0}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)}}\]

   13. Simplified 32.0

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left|im\right|} \cdot \frac{\sqrt{im \cdot im + 0}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)}\]

   14. Simplified 31.8

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \color{blue}{\frac{\left|im\right|}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)}\]

   15. Taylor expanded around 0 33.4

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \frac{\left|im\right|}{\color{blue}{im} - re}\right)}\]

   if 1.2766285812733717e-281 < re < 1.5366724406791122e+106

   1. Initial program 20.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied add-sqr-sqrt 20.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

   4. Applied sqrt-prod 20.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

   if 1.5366724406791122e+106 < re

   1. Initial program 52.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied add-sqr-sqrt 52.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

   4. Applied sqrt-prod 52.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
   5. Using strategy rm

   6. Applied flip-+ 62.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re \cdot re}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}}\]

   7. Simplified 62.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im + 0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}\]

   8. Simplified 62.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   9. Taylor expanded around 0 8.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot re\right)}}\]
3. Recombined 5 regimes into one program.

4. Final simplification 22.9

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -1.3657760091869803 \cdot 10^{154}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \frac{\left|im\right|}{\left(-re\right) - re}\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le -4.5405452937718227 \cdot 10^{-275}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot {\left(\left|im\right|\right)}^{2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.27662858127337166 \cdot 10^{-281}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \frac{\left|im\right|}{im - re}\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.5366724406791122 \cdot 10^{106}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(2 \cdot re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020046 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))