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Precision: 64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le 2.07962093697636277 \cdot 10^{-269}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 3.7988918544800208 \cdot 10^{93}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \le 2.07962093697636277 \cdot 10^{-269}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\

\mathbf{elif}\;re \le 3.7988918544800208 \cdot 10^{93}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\

\end{array}
double f(double re, double im) {
        double r591443 = 0.5;
        double r591444 = 2.0;
        double r591445 = re;
        double r591446 = r591445 * r591445;
        double r591447 = im;
        double r591448 = r591447 * r591447;
        double r591449 = r591446 + r591448;
        double r591450 = sqrt(r591449);
        double r591451 = r591450 + r591445;
        double r591452 = r591444 * r591451;
        double r591453 = sqrt(r591452);
        double r591454 = r591443 * r591453;
        return r591454;
}
↓
double f(double re, double im) {
        double r591455 = re;
        double r591456 = 2.0796209369763628e-269;
        bool r591457 = r591455 <= r591456;
        double r591458 = 0.5;
        double r591459 = 2.0;
        double r591460 = im;
        double r591461 = r591460 * r591460;
        double r591462 = r591455 * r591455;
        double r591463 = r591462 + r591461;
        double r591464 = sqrt(r591463);
        double r591465 = r591464 - r591455;
        double r591466 = r591461 / r591465;
        double r591467 = r591459 * r591466;
        double r591468 = sqrt(r591467);
        double r591469 = r591458 * r591468;
        double r591470 = 3.7988918544800208e+93;
        bool r591471 = r591455 <= r591470;
        double r591472 = cbrt(r591464);
        double r591473 = sqrt(r591464);
        double r591474 = r591473 * r591473;
        double r591475 = cbrt(r591474);
        double r591476 = r591472 * r591475;
        double r591477 = cbrt(r591463);
        double r591478 = r591477 * r591472;
        double r591479 = cbrt(r591478);
        double r591480 = r591476 * r591479;
        double r591481 = r591480 + r591455;
        double r591482 = r591459 * r591481;
        double r591483 = sqrt(r591482);
        double r591484 = r591458 * r591483;
        double r591485 = r591455 + r591455;
        double r591486 = r591459 * r591485;
        double r591487 = sqrt(r591486);
        double r591488 = r591458 * r591487;
        double r591489 = r591471 ? r591484 : r591488;
        double r591490 = r591457 ? r591469 : r591489;
        return r591490;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original38.6
Target34.0
Herbie27.0
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0.0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if re < 2.0796209369763628e-269

    1. Initial program 45.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+45.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Simplified36.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    if 2.0796209369763628e-269 < re < 3.7988918544800208e+93

    1. Initial program 19.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-cube-cbrt20.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied add-cube-cbrt20.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}} + re\right)}\]

    6. Simplified20.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied add-sqr-sqrt20.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    9. Applied sqrt-prod20.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    if 3.7988918544800208e+93 < re

    1. Initial program 51.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 9.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification27.0

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le 2.07962093697636277 \cdot 10^{-269}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 3.7988918544800208 \cdot 10^{93}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020039 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))