Average Error: 0.1 → 0.0
Time: 3.2s
Precision: 64
\[\left(d1 \cdot 3 + d1 \cdot d2\right) + d1 \cdot d3\]
↓
\[\mathsf{fma}\left(3, d1, \mathsf{fma}\left(d1, d3, d1 \cdot d2\right)\right)\]
\left(d1 \cdot 3 + d1 \cdot d2\right) + d1 \cdot d3
↓
\mathsf{fma}\left(3, d1, \mathsf{fma}\left(d1, d3, d1 \cdot d2\right)\right)
double f(double d1, double d2, double d3) {
        double r138421 = d1;
        double r138422 = 3.0;
        double r138423 = r138421 * r138422;
        double r138424 = d2;
        double r138425 = r138421 * r138424;
        double r138426 = r138423 + r138425;
        double r138427 = d3;
        double r138428 = r138421 * r138427;
        double r138429 = r138426 + r138428;
        return r138429;
}
↓
double f(double d1, double d2, double d3) {
        double r138430 = 3.0;
        double r138431 = d1;
        double r138432 = d3;
        double r138433 = d2;
        double r138434 = r138431 * r138433;
        double r138435 = fma(r138431, r138432, r138434);
        double r138436 = fma(r138430, r138431, r138435);
        return r138436;
}

Error

Bits error versus d1

Bits error versus d2

Bits error versus d3

Target

Original0.1
Target0.1
Herbie0.0
\[d1 \cdot \left(\left(3 + d2\right) + d3\right)\]

Derivation

  1. Initial program 0.1

    \[\left(d1 \cdot 3 + d1 \cdot d2\right) + d1 \cdot d3\]

  2. Simplified0.0

    \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(d1, 3 + d2, d1 \cdot d3\right)}\]

  3. Taylor expanded around 0 0.1

    \[\leadsto \color{blue}{3 \cdot d1 + \left(d1 \cdot d3 + d1 \cdot d2\right)}\]

  4. Simplified0.0

    \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(3, d1, \mathsf{fma}\left(d1, d3, d1 \cdot d2\right)\right)}\]

  5. Final simplification0.0

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(3, d1, \mathsf{fma}\left(d1, d3, d1 \cdot d2\right)\right)\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020036 +o rules:numerics
(FPCore (d1 d2 d3)
  :name "FastMath test3"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (* d1 (+ (+ 3 d2) d3))

  (+ (+ (* d1 3) (* d1 d2)) (* d1 d3)))