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Precision: 64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -5.4803726878191209 \cdot 10^{-115}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le -1.2884729287301245 \cdot 10^{-263}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + im\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.7737595496755384 \cdot 10^{54}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(2 \cdot re\right)}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \le -5.4803726878191209 \cdot 10^{-115}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\

\mathbf{elif}\;re \le -1.2884729287301245 \cdot 10^{-263}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + im\right)}\\

\mathbf{elif}\;re \le 1.7737595496755384 \cdot 10^{54}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) + re\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(2 \cdot re\right)}\\

\end{array}
double f(double re, double im) {
        double r256728 = 0.5;
        double r256729 = 2.0;
        double r256730 = re;
        double r256731 = r256730 * r256730;
        double r256732 = im;
        double r256733 = r256732 * r256732;
        double r256734 = r256731 + r256733;
        double r256735 = sqrt(r256734);
        double r256736 = r256735 + r256730;
        double r256737 = r256729 * r256736;
        double r256738 = sqrt(r256737);
        double r256739 = r256728 * r256738;
        return r256739;
}
↓
double f(double re, double im) {
        double r256740 = re;
        double r256741 = -5.480372687819121e-115;
        bool r256742 = r256740 <= r256741;
        double r256743 = 0.5;
        double r256744 = 2.0;
        double r256745 = im;
        double r256746 = r256745 * r256745;
        double r256747 = r256740 * r256740;
        double r256748 = r256747 + r256746;
        double r256749 = sqrt(r256748);
        double r256750 = r256749 - r256740;
        double r256751 = r256746 / r256750;
        double r256752 = r256744 * r256751;
        double r256753 = sqrt(r256752);
        double r256754 = r256743 * r256753;
        double r256755 = -1.2884729287301245e-263;
        bool r256756 = r256740 <= r256755;
        double r256757 = r256740 + r256745;
        double r256758 = r256744 * r256757;
        double r256759 = sqrt(r256758);
        double r256760 = r256743 * r256759;
        double r256761 = 1.7737595496755384e+54;
        bool r256762 = r256740 <= r256761;
        double r256763 = cbrt(r256748);
        double r256764 = r256763 * r256763;
        double r256765 = sqrt(r256764);
        double r256766 = sqrt(r256765);
        double r256767 = cbrt(r256749);
        double r256768 = r256767 * r256767;
        double r256769 = sqrt(r256768);
        double r256770 = sqrt(r256769);
        double r256771 = sqrt(r256749);
        double r256772 = r256770 * r256771;
        double r256773 = r256766 * r256772;
        double r256774 = r256773 + r256740;
        double r256775 = r256744 * r256774;
        double r256776 = sqrt(r256775);
        double r256777 = r256743 * r256776;
        double r256778 = 2.0;
        double r256779 = r256778 * r256740;
        double r256780 = r256744 * r256779;
        double r256781 = sqrt(r256780);
        double r256782 = r256743 * r256781;
        double r256783 = r256762 ? r256777 : r256782;
        double r256784 = r256756 ? r256760 : r256783;
        double r256785 = r256742 ? r256754 : r256784;
        return r256785;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original38.7
Target33.7
Herbie27.8
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0.0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if re < -5.480372687819121e-115

    1. Initial program 52.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+52.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Simplified38.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    if -5.480372687819121e-115 < re < -1.2884729287301245e-263

    1. Initial program 32.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt32.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod32.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    5. Taylor expanded around 0 37.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(re + im\right)}}\]

    if -1.2884729287301245e-263 < re < 1.7737595496755384e+54

    1. Initial program 22.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt22.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod22.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied add-cube-cbrt22.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\]

    7. Applied sqrt-prod22.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\]

    8. Applied sqrt-prod22.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\]

    9. Applied associate-*l*22.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)} + re\right)}\]
    10. Using strategy rm

    11. Applied add-sqr-sqrt22.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) + re\right)}\]

    12. Applied cbrt-prod22.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\color{blue}{\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) + re\right)}\]

    if 1.7737595496755384e+54 < re

    1. Initial program 43.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 12.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot re\right)}}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification27.8

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -5.4803726878191209 \cdot 10^{-115}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le -1.2884729287301245 \cdot 10^{-263}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + im\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.7737595496755384 \cdot 10^{54}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(2 \cdot re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020018 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))