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Precision: 64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -7.43908969742662921 \cdot 10^{84}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-1 \cdot re - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le -2.0006798653343339 \cdot 10^{-304}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.52111731254879352 \cdot 10^{149}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \frac{\left|im\right|}{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{2 \cdot re}}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \le -7.43908969742662921 \cdot 10^{84}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-1 \cdot re - re\right)}\\

\mathbf{elif}\;re \le -2.0006798653343339 \cdot 10^{-304}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)}\\

\mathbf{elif}\;re \le 1.52111731254879352 \cdot 10^{149}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \frac{\left|im\right|}{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{2 \cdot re}}\\

\end{array}
double f(double re, double im) {
        double r16278 = 0.5;
        double r16279 = 2.0;
        double r16280 = re;
        double r16281 = r16280 * r16280;
        double r16282 = im;
        double r16283 = r16282 * r16282;
        double r16284 = r16281 + r16283;
        double r16285 = sqrt(r16284);
        double r16286 = r16285 - r16280;
        double r16287 = r16279 * r16286;
        double r16288 = sqrt(r16287);
        double r16289 = r16278 * r16288;
        return r16289;
}
↓
double f(double re, double im) {
        double r16290 = re;
        double r16291 = -7.439089697426629e+84;
        bool r16292 = r16290 <= r16291;
        double r16293 = 0.5;
        double r16294 = 2.0;
        double r16295 = -1.0;
        double r16296 = r16295 * r16290;
        double r16297 = r16296 - r16290;
        double r16298 = r16294 * r16297;
        double r16299 = sqrt(r16298);
        double r16300 = r16293 * r16299;
        double r16301 = -2.000679865334334e-304;
        bool r16302 = r16290 <= r16301;
        double r16303 = r16290 * r16290;
        double r16304 = im;
        double r16305 = r16304 * r16304;
        double r16306 = r16303 + r16305;
        double r16307 = sqrt(r16306);
        double r16308 = sqrt(r16307);
        double r16309 = r16308 * r16308;
        double r16310 = r16309 - r16290;
        double r16311 = r16294 * r16310;
        double r16312 = sqrt(r16311);
        double r16313 = r16293 * r16312;
        double r16314 = 1.5211173125487935e+149;
        bool r16315 = r16290 <= r16314;
        double r16316 = fabs(r16304);
        double r16317 = r16290 + r16307;
        double r16318 = r16316 / r16317;
        double r16319 = r16316 * r16318;
        double r16320 = r16294 * r16319;
        double r16321 = sqrt(r16320);
        double r16322 = r16293 * r16321;
        double r16323 = 0.0;
        double r16324 = r16305 + r16323;
        double r16325 = 2.0;
        double r16326 = r16325 * r16290;
        double r16327 = r16324 / r16326;
        double r16328 = r16294 * r16327;
        double r16329 = sqrt(r16328);
        double r16330 = r16293 * r16329;
        double r16331 = r16315 ? r16322 : r16330;
        double r16332 = r16302 ? r16313 : r16331;
        double r16333 = r16292 ? r16300 : r16332;
        return r16333;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if re < -7.439089697426629e+84

    1. Initial program 48.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around -inf 10.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{-1 \cdot re} - re\right)}\]

    if -7.439089697426629e+84 < re < -2.000679865334334e-304

    1. Initial program 21.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt21.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod21.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]

    if -2.000679865334334e-304 < re < 1.5211173125487935e+149

    1. Initial program 39.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt39.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod40.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied flip--40.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re \cdot re}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re}}}\]

    7. Simplified30.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im + 0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re}}\]

    8. Simplified30.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{\color{blue}{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}}\]
    9. Using strategy rm

    10. Applied *-un-lft-identity30.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{\color{blue}{1 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}}}\]

    11. Applied add-sqr-sqrt30.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot im + 0} \cdot \sqrt{im \cdot im + 0}}}{1 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}}\]

    12. Applied times-frac30.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{im \cdot im + 0}}{1} \cdot \frac{\sqrt{im \cdot im + 0}}{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)}}\]

    13. Simplified30.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left|im\right|} \cdot \frac{\sqrt{im \cdot im + 0}}{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)}\]

    14. Simplified28.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \color{blue}{\frac{\left|im\right|}{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)}\]

    if 1.5211173125487935e+149 < re

    1. Initial program 63.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt63.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod63.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied flip--63.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re \cdot re}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re}}}\]

    7. Simplified50.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im + 0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re}}\]

    8. Simplified50.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{\color{blue}{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}}\]

    9. Taylor expanded around inf 31.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{\color{blue}{2 \cdot re}}}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification23.4

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -7.43908969742662921 \cdot 10^{84}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-1 \cdot re - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le -2.0006798653343339 \cdot 10^{-304}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.52111731254879352 \cdot 10^{149}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \frac{\left|im\right|}{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{2 \cdot re}}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020003 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  :precision binary64
  (* 0.5 (sqrt (* 2 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))