Average Error: 29.7 → 0.1
Time: 4.5s
Precision: 64
\[\log \left(N + 1\right) - \log N\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;N \le 9570.307657915993331698700785636901855469:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{N + 1}{N}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{{\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}\right)}^{3} - {0.5}^{3}}{{N}^{2}}, N, 1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}, \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}, \mathsf{fma}\left(0.5, 0.5, \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot 0.5\right)\right)\right)}{N \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}, \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}, \mathsf{fma}\left(0.5, 0.5, \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot 0.5\right)\right)}\\ \end{array}\]
\log \left(N + 1\right) - \log N
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;N \le 9570.307657915993331698700785636901855469:\\
\;\;\;\;\log \left(\frac{N + 1}{N}\right)\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{{\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}\right)}^{3} - {0.5}^{3}}{{N}^{2}}, N, 1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}, \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}, \mathsf{fma}\left(0.5, 0.5, \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot 0.5\right)\right)\right)}{N \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}, \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}, \mathsf{fma}\left(0.5, 0.5, \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot 0.5\right)\right)}\\

\end{array}
double f(double N) {
        double r44347 = N;
        double r44348 = 1.0;
        double r44349 = r44347 + r44348;
        double r44350 = log(r44349);
        double r44351 = log(r44347);
        double r44352 = r44350 - r44351;
        return r44352;
}
↓
double f(double N) {
        double r44353 = N;
        double r44354 = 9570.307657915993;
        bool r44355 = r44353 <= r44354;
        double r44356 = 1.0;
        double r44357 = r44353 + r44356;
        double r44358 = r44357 / r44353;
        double r44359 = log(r44358);
        double r44360 = 0.3333333333333333;
        double r44361 = r44360 / r44353;
        double r44362 = 3.0;
        double r44363 = pow(r44361, r44362);
        double r44364 = 0.5;
        double r44365 = pow(r44364, r44362);
        double r44366 = r44363 - r44365;
        double r44367 = 2.0;
        double r44368 = pow(r44353, r44367);
        double r44369 = r44366 / r44368;
        double r44370 = r44361 * r44364;
        double r44371 = fma(r44364, r44364, r44370);
        double r44372 = fma(r44361, r44361, r44371);
        double r44373 = r44356 * r44372;
        double r44374 = fma(r44369, r44353, r44373);
        double r44375 = r44353 * r44372;
        double r44376 = r44374 / r44375;
        double r44377 = r44355 ? r44359 : r44376;
        return r44377;
}

Error

Bits error versus N

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if N < 9570.307657915993

    1. Initial program 0.1

      \[\log \left(N + 1\right) - \log N\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied diff-log0.1

      \[\leadsto \color{blue}{\log \left(\frac{N + 1}{N}\right)}\]

    if 9570.307657915993 < N

    1. Initial program 59.4

      \[\log \left(N + 1\right) - \log N\]

    2. Taylor expanded around inf 0.0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot \frac{1}{{N}^{3}} + 1 \cdot \frac{1}{N}\right) - 0.5 \cdot \frac{1}{{N}^{2}}}\]

    3. Simplified0.0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{{N}^{2}} \cdot \left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} - 0.5\right) + \frac{1}{N}}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied flip3--0.0

      \[\leadsto \frac{1}{{N}^{2}} \cdot \color{blue}{\frac{{\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}\right)}^{3} - {0.5}^{3}}{\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} + \left(0.5 \cdot 0.5 + \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot 0.5\right)}} + \frac{1}{N}\]

    6. Applied associate-*r/0.0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{{N}^{2}} \cdot \left({\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}\right)}^{3} - {0.5}^{3}\right)}{\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} + \left(0.5 \cdot 0.5 + \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot 0.5\right)}} + \frac{1}{N}\]

    7. Applied frac-add0.0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{{N}^{2}} \cdot \left({\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}\right)}^{3} - {0.5}^{3}\right)\right) \cdot N + \left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} + \left(0.5 \cdot 0.5 + \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot 0.5\right)\right) \cdot 1}{\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} + \left(0.5 \cdot 0.5 + \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot 0.5\right)\right) \cdot N}}\]

    8. Simplified0.0

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{{\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}\right)}^{3} - {0.5}^{3}}{{N}^{2}}, N, 1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}, \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}, \mathsf{fma}\left(0.5, 0.5, \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot 0.5\right)\right)\right)}}{\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} + \left(0.5 \cdot 0.5 + \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot 0.5\right)\right) \cdot N}\]

    9. Simplified0.0

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{{\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}\right)}^{3} - {0.5}^{3}}{{N}^{2}}, N, 1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}, \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}, \mathsf{fma}\left(0.5, 0.5, \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot 0.5\right)\right)\right)}{\color{blue}{N \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}, \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}, \mathsf{fma}\left(0.5, 0.5, \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot 0.5\right)\right)}}\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification0.1

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;N \le 9570.307657915993331698700785636901855469:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{N + 1}{N}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{{\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}\right)}^{3} - {0.5}^{3}}{{N}^{2}}, N, 1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}, \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}, \mathsf{fma}\left(0.5, 0.5, \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot 0.5\right)\right)\right)}{N \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}, \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}, \mathsf{fma}\left(0.5, 0.5, \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot 0.5\right)\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019353 +o rules:numerics
(FPCore (N)
  :name "2log (problem 3.3.6)"
  :precision binary64
  (- (log (+ N 1)) (log N)))