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Precision: 64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \cdot im \le 2.785635358716614812340651792624574520043 \cdot 10^{-267}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(2 \cdot re\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \cdot im \le 7.885845283722595201168636922497800994676 \cdot 10^{-207}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;im \cdot im \le 4.636456314439879455015808630226497398272 \cdot 10^{-190}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(2 \cdot re\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \cdot im \le 1.606608869031663108780796224948697957317 \cdot 10^{272}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + im\right)}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;im \cdot im \le 2.785635358716614812340651792624574520043 \cdot 10^{-267}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(2 \cdot re\right)}\\

\mathbf{elif}\;im \cdot im \le 7.885845283722595201168636922497800994676 \cdot 10^{-207}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\

\mathbf{elif}\;im \cdot im \le 4.636456314439879455015808630226497398272 \cdot 10^{-190}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(2 \cdot re\right)}\\

\mathbf{elif}\;im \cdot im \le 1.606608869031663108780796224948697957317 \cdot 10^{272}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + im\right)}\\

\end{array}
double f(double re, double im) {
        double r203965 = 0.5;
        double r203966 = 2.0;
        double r203967 = re;
        double r203968 = r203967 * r203967;
        double r203969 = im;
        double r203970 = r203969 * r203969;
        double r203971 = r203968 + r203970;
        double r203972 = sqrt(r203971);
        double r203973 = r203972 + r203967;
        double r203974 = r203966 * r203973;
        double r203975 = sqrt(r203974);
        double r203976 = r203965 * r203975;
        return r203976;
}
↓
double f(double re, double im) {
        double r203977 = im;
        double r203978 = r203977 * r203977;
        double r203979 = 2.785635358716615e-267;
        bool r203980 = r203978 <= r203979;
        double r203981 = 0.5;
        double r203982 = 2.0;
        double r203983 = 2.0;
        double r203984 = re;
        double r203985 = r203983 * r203984;
        double r203986 = r203982 * r203985;
        double r203987 = sqrt(r203986);
        double r203988 = r203981 * r203987;
        double r203989 = 7.885845283722595e-207;
        bool r203990 = r203978 <= r203989;
        double r203991 = r203984 * r203984;
        double r203992 = r203991 + r203978;
        double r203993 = sqrt(r203992);
        double r203994 = r203993 - r203984;
        double r203995 = r203978 / r203994;
        double r203996 = r203982 * r203995;
        double r203997 = sqrt(r203996);
        double r203998 = r203981 * r203997;
        double r203999 = 4.636456314439879e-190;
        bool r204000 = r203978 <= r203999;
        double r204001 = 1.606608869031663e+272;
        bool r204002 = r203978 <= r204001;
        double r204003 = r203984 + r203977;
        double r204004 = r203982 * r204003;
        double r204005 = sqrt(r204004);
        double r204006 = r203981 * r204005;
        double r204007 = r204002 ? r203998 : r204006;
        double r204008 = r204000 ? r203988 : r204007;
        double r204009 = r203990 ? r203998 : r204008;
        double r204010 = r203980 ? r203988 : r204009;
        return r204010;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original38.4
Target33.5
Herbie30.6
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0.0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if (* im im) < 2.785635358716615e-267 or 7.885845283722595e-207 < (* im im) < 4.636456314439879e-190

    1. Initial program 41.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt41.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod42.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied add-sqr-sqrt42.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\]

    7. Applied sqrt-prod42.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\]

    8. Applied sqrt-prod42.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\]

    9. Applied associate-*l*42.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)} + re\right)}\]

    10. Simplified43.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)}^{3}} + re\right)}\]

    11. Taylor expanded around inf 36.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot re\right)}}\]

    if 2.785635358716615e-267 < (* im im) < 7.885845283722595e-207 or 4.636456314439879e-190 < (* im im) < 1.606608869031663e+272

    1. Initial program 22.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+30.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Simplified22.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    if 1.606608869031663e+272 < (* im im)

    1. Initial program 59.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt59.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod59.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied add-sqr-sqrt59.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\]

    7. Applied sqrt-prod59.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\]

    8. Applied sqrt-prod59.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\]

    9. Applied associate-*l*59.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)} + re\right)}\]

    10. Simplified59.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)}^{3}} + re\right)}\]

    11. Taylor expanded around 0 36.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(re + im\right)}}\]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification30.6

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \cdot im \le 2.785635358716614812340651792624574520043 \cdot 10^{-267}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(2 \cdot re\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \cdot im \le 7.885845283722595201168636922497800994676 \cdot 10^{-207}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;im \cdot im \le 4.636456314439879455015808630226497398272 \cdot 10^{-190}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(2 \cdot re\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \cdot im \le 1.606608869031663108780796224948697957317 \cdot 10^{272}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + im\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019326 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))