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Precision: 64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -2.552067448335497897717290576126713030515 \cdot 10^{-308}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.314963649505642820569308300160176849509 \cdot 10^{66}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \le -2.552067448335497897717290576126713030515 \cdot 10^{-308}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\

\mathbf{elif}\;re \le 1.314963649505642820569308300160176849509 \cdot 10^{66}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\

\end{array}
double f(double re, double im) {
        double r187466 = 0.5;
        double r187467 = 2.0;
        double r187468 = re;
        double r187469 = r187468 * r187468;
        double r187470 = im;
        double r187471 = r187470 * r187470;
        double r187472 = r187469 + r187471;
        double r187473 = sqrt(r187472);
        double r187474 = r187473 + r187468;
        double r187475 = r187467 * r187474;
        double r187476 = sqrt(r187475);
        double r187477 = r187466 * r187476;
        return r187477;
}
↓
double f(double re, double im) {
        double r187478 = re;
        double r187479 = -2.552067448335498e-308;
        bool r187480 = r187478 <= r187479;
        double r187481 = 0.5;
        double r187482 = 2.0;
        double r187483 = im;
        double r187484 = r187483 * r187483;
        double r187485 = r187482 * r187484;
        double r187486 = sqrt(r187485);
        double r187487 = r187478 * r187478;
        double r187488 = r187487 + r187484;
        double r187489 = sqrt(r187488);
        double r187490 = r187489 - r187478;
        double r187491 = sqrt(r187490);
        double r187492 = r187486 / r187491;
        double r187493 = r187481 * r187492;
        double r187494 = 1.3149636495056428e+66;
        bool r187495 = r187478 <= r187494;
        double r187496 = sqrt(r187489);
        double r187497 = r187496 * r187496;
        double r187498 = r187497 + r187478;
        double r187499 = r187482 * r187498;
        double r187500 = sqrt(r187499);
        double r187501 = r187481 * r187500;
        double r187502 = r187478 + r187478;
        double r187503 = r187482 * r187502;
        double r187504 = sqrt(r187503);
        double r187505 = r187481 * r187504;
        double r187506 = r187495 ? r187501 : r187505;
        double r187507 = r187480 ? r187493 : r187506;
        return r187507;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original38.7
Target34.0
Herbie26.3
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0.0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if re < -2.552067448335498e-308

    1. Initial program 45.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-exp-log46.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\right)}}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied add-sqr-sqrt46.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot e^{\log \left(\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\right)}\]

    6. Applied sqrt-prod47.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot e^{\log \left(\sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\right)}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied flip-+47.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot e^{\log \left(\sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re \cdot re}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}}\right)}\]

    9. Applied associate-*r/47.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot e^{\log \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re \cdot re\right)}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}}\right)}\]

    10. Applied sqrt-div47.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot e^{\log \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}\right)}}\]

    11. Applied log-div47.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot e^{\color{blue}{\log \left(\sqrt{2 \cdot \left(\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re \cdot re\right)}\right) - \log \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}\right)}}\]

    12. Applied exp-diff47.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{e^{\log \left(\sqrt{2 \cdot \left(\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re \cdot re\right)}\right)}}{e^{\log \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}\right)}}}\]

    13. Simplified36.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{e^{\log \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}\right)}}\]

    14. Simplified35.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    if -2.552067448335498e-308 < re < 1.3149636495056428e+66

    1. Initial program 21.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt21.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod21.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    if 1.3149636495056428e+66 < re

    1. Initial program 46.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 11.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification26.3

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -2.552067448335497897717290576126713030515 \cdot 10^{-308}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.314963649505642820569308300160176849509 \cdot 10^{66}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019304 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))