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Precision: 64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le \frac{1411938626932029}{6.857655085992110854069920313984011587593 \cdot 10^{302}}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{{im}^{2}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 8.148041992667695284543397003902154699559 \cdot 10^{135}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left(\left|\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right| \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 \cdot \left(2 \cdot re\right)}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \le \frac{1411938626932029}{6.857655085992110854069920313984011587593 \cdot 10^{302}}:\\
\;\;\;\;\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{{im}^{2}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\

\mathbf{elif}\;re \le 8.148041992667695284543397003902154699559 \cdot 10^{135}:\\
\;\;\;\;\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left(\left|\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right| \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 \cdot \left(2 \cdot re\right)}\\

\end{array}
double f(double re, double im) {
        double r71170 = 0.5;
        double r71171 = 2.0;
        double r71172 = re;
        double r71173 = r71172 * r71172;
        double r71174 = im;
        double r71175 = r71174 * r71174;
        double r71176 = r71173 + r71175;
        double r71177 = sqrt(r71176);
        double r71178 = r71177 + r71172;
        double r71179 = r71171 * r71178;
        double r71180 = sqrt(r71179);
        double r71181 = r71170 * r71180;
        return r71181;
}
↓
double f(double re, double im) {
        double r71182 = re;
        double r71183 = 1411938626932029.0;
        double r71184 = 6.857655085992111e+302;
        double r71185 = r71183 / r71184;
        bool r71186 = r71182 <= r71185;
        double r71187 = 1.0;
        double r71188 = 2.0;
        double r71189 = r71187 / r71188;
        double r71190 = im;
        double r71191 = 2.0;
        double r71192 = pow(r71190, r71191);
        double r71193 = r71182 * r71182;
        double r71194 = r71190 * r71190;
        double r71195 = r71193 + r71194;
        double r71196 = sqrt(r71195);
        double r71197 = r71196 - r71182;
        double r71198 = r71192 / r71197;
        double r71199 = r71188 * r71198;
        double r71200 = sqrt(r71199);
        double r71201 = r71189 * r71200;
        double r71202 = 8.148041992667695e+135;
        bool r71203 = r71182 <= r71202;
        double r71204 = cbrt(r71196);
        double r71205 = fabs(r71204);
        double r71206 = sqrt(r71196);
        double r71207 = r71205 * r71206;
        double r71208 = sqrt(r71204);
        double r71209 = r71207 * r71208;
        double r71210 = r71209 + r71182;
        double r71211 = r71188 * r71210;
        double r71212 = sqrt(r71211);
        double r71213 = r71189 * r71212;
        double r71214 = r71191 * r71182;
        double r71215 = r71188 * r71214;
        double r71216 = sqrt(r71215);
        double r71217 = r71189 * r71216;
        double r71218 = r71203 ? r71213 : r71217;
        double r71219 = r71186 ? r71201 : r71218;
        return r71219;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original38.9
Target33.7
Herbie27.0
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0.0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if re < 2.0589233626172684e-288

    1. Initial program 45.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+45.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Simplified35.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{{im}^{2}}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    if 2.0589233626172684e-288 < re < 8.148041992667695e+135

    1. Initial program 20.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt20.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod20.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied add-cube-cbrt21.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}} + re\right)}\]

    7. Applied sqrt-prod21.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)} + re\right)}\]

    8. Applied associate-*r*21.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}} + re\right)}\]

    9. Simplified21.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\left|\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right| \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    if 8.148041992667695e+135 < re

    1. Initial program 58.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt58.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod58.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    5. Taylor expanded around inf 8.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot re\right)}}\]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification27.0

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le \frac{1411938626932029}{6.857655085992110854069920313984011587593 \cdot 10^{302}}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{{im}^{2}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 8.148041992667695284543397003902154699559 \cdot 10^{135}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left(\left|\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right| \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 \cdot \left(2 \cdot re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019303 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))