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Precision: 64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \le 0.0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{{im}^{2} \cdot 2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \le 5.060064786484086927491814603186540752799 \cdot 10^{146}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \le 0.0:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{{im}^{2} \cdot 2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\\

\mathbf{elif}\;\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \le 5.060064786484086927491814603186540752799 \cdot 10^{146}:\\
\;\;\;\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \cdot 0.5\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\

\end{array}
double f(double re, double im) {
        double r22954 = 0.5;
        double r22955 = 2.0;
        double r22956 = re;
        double r22957 = r22956 * r22956;
        double r22958 = im;
        double r22959 = r22958 * r22958;
        double r22960 = r22957 + r22959;
        double r22961 = sqrt(r22960);
        double r22962 = r22961 - r22956;
        double r22963 = r22955 * r22962;
        double r22964 = sqrt(r22963);
        double r22965 = r22954 * r22964;
        return r22965;
}
↓
double f(double re, double im) {
        double r22966 = re;
        double r22967 = r22966 * r22966;
        double r22968 = im;
        double r22969 = r22968 * r22968;
        double r22970 = r22967 + r22969;
        double r22971 = sqrt(r22970);
        double r22972 = r22971 - r22966;
        double r22973 = 0.0;
        bool r22974 = r22972 <= r22973;
        double r22975 = 0.5;
        double r22976 = 2.0;
        double r22977 = pow(r22968, r22976);
        double r22978 = 2.0;
        double r22979 = r22977 * r22978;
        double r22980 = sqrt(r22979);
        double r22981 = r22971 + r22966;
        double r22982 = sqrt(r22981);
        double r22983 = r22980 / r22982;
        double r22984 = r22975 * r22983;
        double r22985 = 5.060064786484087e+146;
        bool r22986 = r22972 <= r22985;
        double r22987 = r22978 * r22972;
        double r22988 = sqrt(r22987);
        double r22989 = r22988 * r22975;
        double r22990 = r22968 - r22966;
        double r22991 = r22978 * r22990;
        double r22992 = sqrt(r22991);
        double r22993 = r22975 * r22992;
        double r22994 = r22986 ? r22989 : r22993;
        double r22995 = r22974 ? r22984 : r22994;
        return r22995;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re) < 0.0

    1. Initial program 58.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt58.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod60.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied *-un-lft-identity60.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\color{blue}{1 \cdot \left(re \cdot re + im \cdot im\right)}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)}\]

    7. Applied sqrt-prod60.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)}\]

    8. Applied sqrt-prod60.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)}\]

    9. Applied associate-*l*60.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{1}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)} - re\right)}\]

    10. Simplified58.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{1}} \cdot \color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)}\]
    11. Using strategy rm

    12. Applied flip--57.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\left(\sqrt{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right) - re \cdot re}{\sqrt{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    13. Applied associate-*r/57.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\left(\sqrt{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right) - re \cdot re\right)}{\sqrt{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    14. Applied sqrt-div57.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\left(\sqrt{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right) - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    15. Simplified33.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left({im}^{2} + 0\right) \cdot 2}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

    16. Simplified33.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left({im}^{2} + 0\right) \cdot 2}}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    if 0.0 < (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re) < 5.060064786484087e+146

    1. Initial program 4.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt4.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod4.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied *-un-lft-identity4.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\color{blue}{1 \cdot \left(re \cdot re + im \cdot im\right)}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)}\]

    7. Applied sqrt-prod4.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)}\]

    8. Applied sqrt-prod4.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)}\]

    9. Applied associate-*l*4.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{1}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)} - re\right)}\]

    10. Simplified4.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{1}} \cdot \color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)}\]

    if 5.060064786484087e+146 < (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)

    1. Initial program 62.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 44.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} - re\right)}\]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification26.6

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \le 0.0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{{im}^{2} \cdot 2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \le 5.060064786484086927491814603186540752799 \cdot 10^{146}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019303 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  :precision binary64
  (* 0.5 (sqrt (* 2 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))