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Precision: 64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \cdot im \le 1.715950073077954516907202703235334776024 \cdot 10^{-274}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(2 \cdot re\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \cdot im \le 1.871747440726519386629849595782131803342 \cdot 10^{-91}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;im \cdot im \le 8.085019742423997500462940305671216865126 \cdot 10^{299}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;im \cdot im \le 1.715950073077954516907202703235334776024 \cdot 10^{-274}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(2 \cdot re\right)}\\

\mathbf{elif}\;im \cdot im \le 1.871747440726519386629849595782131803342 \cdot 10^{-91}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\

\mathbf{elif}\;im \cdot im \le 8.085019742423997500462940305671216865126 \cdot 10^{299}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) + re\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\

\end{array}
double f(double re, double im) {
        double r117302 = 0.5;
        double r117303 = 2.0;
        double r117304 = re;
        double r117305 = r117304 * r117304;
        double r117306 = im;
        double r117307 = r117306 * r117306;
        double r117308 = r117305 + r117307;
        double r117309 = sqrt(r117308);
        double r117310 = r117309 + r117304;
        double r117311 = r117303 * r117310;
        double r117312 = sqrt(r117311);
        double r117313 = r117302 * r117312;
        return r117313;
}
↓
double f(double re, double im) {
        double r117314 = im;
        double r117315 = r117314 * r117314;
        double r117316 = 1.7159500730779545e-274;
        bool r117317 = r117315 <= r117316;
        double r117318 = 0.5;
        double r117319 = 2.0;
        double r117320 = 2.0;
        double r117321 = re;
        double r117322 = r117320 * r117321;
        double r117323 = r117319 * r117322;
        double r117324 = sqrt(r117323);
        double r117325 = r117318 * r117324;
        double r117326 = 1.8717474407265194e-91;
        bool r117327 = r117315 <= r117326;
        double r117328 = r117321 * r117321;
        double r117329 = r117328 + r117315;
        double r117330 = sqrt(r117329);
        double r117331 = r117330 - r117321;
        double r117332 = r117315 / r117331;
        double r117333 = r117319 * r117332;
        double r117334 = sqrt(r117333);
        double r117335 = r117318 * r117334;
        double r117336 = 8.085019742423998e+299;
        bool r117337 = r117315 <= r117336;
        double r117338 = cbrt(r117329);
        double r117339 = r117338 * r117338;
        double r117340 = sqrt(r117339);
        double r117341 = sqrt(r117340);
        double r117342 = sqrt(r117338);
        double r117343 = sqrt(r117342);
        double r117344 = sqrt(r117330);
        double r117345 = r117343 * r117344;
        double r117346 = r117341 * r117345;
        double r117347 = r117346 + r117321;
        double r117348 = r117319 * r117347;
        double r117349 = sqrt(r117348);
        double r117350 = r117318 * r117349;
        double r117351 = r117314 + r117321;
        double r117352 = r117319 * r117351;
        double r117353 = sqrt(r117352);
        double r117354 = r117318 * r117353;
        double r117355 = r117337 ? r117350 : r117354;
        double r117356 = r117327 ? r117335 : r117355;
        double r117357 = r117317 ? r117325 : r117356;
        return r117357;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original38.9
Target33.9
Herbie30.4
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0.0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if (* im im) < 1.7159500730779545e-274

    1. Initial program 42.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 36.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot re\right)}}\]

    if 1.7159500730779545e-274 < (* im im) < 1.8717474407265194e-91

    1. Initial program 27.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+38.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Simplified28.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    if 1.8717474407265194e-91 < (* im im) < 8.085019742423998e+299

    1. Initial program 21.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt21.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod21.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied add-cube-cbrt21.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\]

    7. Applied sqrt-prod21.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\]

    8. Applied sqrt-prod21.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\]

    9. Applied associate-*l*21.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)} + re\right)}\]

    if 8.085019742423998e+299 < (* im im)

    1. Initial program 62.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt62.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod62.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    5. Taylor expanded around 0 35.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} + re\right)}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification30.4

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \cdot im \le 1.715950073077954516907202703235334776024 \cdot 10^{-274}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(2 \cdot re\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \cdot im \le 1.871747440726519386629849595782131803342 \cdot 10^{-91}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;im \cdot im \le 8.085019742423997500462940305671216865126 \cdot 10^{299}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019298 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))