Average Error: 59.9 → 0.0
Time: 1.2m
Precision: 64
\[-0.0259999999999999988065102485279567190446 \lt x \land x \lt 0.0259999999999999988065102485279567190446\]
\[\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x}\]
↓
\[\mathsf{fma}\left(0.002116402116402116544841005563171165704262, {x}^{5}, \frac{x}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333148296162562473909929395, 0.3333333333333333148296162562473909929395, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027 - 0.3333333333333333148296162562473909929395\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right), 0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot \left(0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395\right)\right)}}\right)\]
\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x}
↓
\mathsf{fma}\left(0.002116402116402116544841005563171165704262, {x}^{5}, \frac{x}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333148296162562473909929395, 0.3333333333333333148296162562473909929395, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027 - 0.3333333333333333148296162562473909929395\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right), 0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot \left(0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395\right)\right)}}\right)
double f(double x) {
        double r3183431 = 1.0;
        double r3183432 = x;
        double r3183433 = r3183431 / r3183432;
        double r3183434 = tan(r3183432);
        double r3183435 = r3183431 / r3183434;
        double r3183436 = r3183433 - r3183435;
        return r3183436;
}
↓
double f(double x) {
        double r3183437 = 0.0021164021164021165;
        double r3183438 = x;
        double r3183439 = 5.0;
        double r3183440 = pow(r3183438, r3183439);
        double r3183441 = 0.3333333333333333;
        double r3183442 = r3183438 * r3183438;
        double r3183443 = 0.022222222222222223;
        double r3183444 = r3183442 * r3183443;
        double r3183445 = r3183444 - r3183441;
        double r3183446 = r3183445 * r3183444;
        double r3183447 = fma(r3183441, r3183441, r3183446);
        double r3183448 = r3183444 * r3183444;
        double r3183449 = r3183441 * r3183441;
        double r3183450 = r3183441 * r3183449;
        double r3183451 = fma(r3183444, r3183448, r3183450);
        double r3183452 = r3183447 / r3183451;
        double r3183453 = r3183438 / r3183452;
        double r3183454 = fma(r3183437, r3183440, r3183453);
        return r3183454;
}

Error

Bits error versus x

Target

Original59.9
Target0.1
Herbie0.0
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| \lt 0.0259999999999999988065102485279567190446:\\ \;\;\;\;\frac{x}{3} \cdot \left(1 + \frac{x \cdot x}{15}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Initial program 59.9

    \[\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x}\]

  2. Taylor expanded around 0 0.3

    \[\leadsto \color{blue}{0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot {x}^{3} + \left(0.002116402116402116544841005563171165704262 \cdot {x}^{5} + 0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot x\right)}\]

  3. Simplified0.3

    \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.002116402116402116544841005563171165704262, {x}^{5}, x \cdot \left(0.3333333333333333148296162562473909929395 + \left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot x\right) \cdot x\right)\right)}\]
  4. Using strategy rm

  5. Applied flip3-+1.2

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.002116402116402116544841005563171165704262, {x}^{5}, x \cdot \color{blue}{\frac{{0.3333333333333333148296162562473909929395}^{3} + {\left(\left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot x\right) \cdot x\right)}^{3}}{0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395 + \left(\left(\left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot x\right) \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot x\right) \cdot x\right) - 0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot \left(\left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot x\right) \cdot x\right)\right)}}\right)\]

  6. Applied associate-*r/1.1

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.002116402116402116544841005563171165704262, {x}^{5}, \color{blue}{\frac{x \cdot \left({0.3333333333333333148296162562473909929395}^{3} + {\left(\left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot x\right) \cdot x\right)}^{3}\right)}{0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395 + \left(\left(\left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot x\right) \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot x\right) \cdot x\right) - 0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot \left(\left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot x\right) \cdot x\right)\right)}}\right)\]

  7. Simplified0.3

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.002116402116402116544841005563171165704262, {x}^{5}, \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333148296162562473909929395, 0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395, \left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)}}{0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395 + \left(\left(\left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot x\right) \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot x\right) \cdot x\right) - 0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot \left(\left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot x\right) \cdot x\right)\right)}\right)\]
  8. Using strategy rm

  9. Applied associate-/l*0.0

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.002116402116402116544841005563171165704262, {x}^{5}, \color{blue}{\frac{x}{\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395 + \left(\left(\left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot x\right) \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot x\right) \cdot x\right) - 0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot \left(\left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot x\right) \cdot x\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333148296162562473909929395, 0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395, \left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)}}}\right)\]

  10. Simplified0.0

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.002116402116402116544841005563171165704262, {x}^{5}, \frac{x}{\color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333148296162562473909929395, 0.3333333333333333148296162562473909929395, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027 - 0.3333333333333333148296162562473909929395\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right), \left(0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395\right) \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395\right)}}}\right)\]

  11. Final simplification0.0

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.002116402116402116544841005563171165704262, {x}^{5}, \frac{x}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333148296162562473909929395, 0.3333333333333333148296162562473909929395, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027 - 0.3333333333333333148296162562473909929395\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right), 0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot \left(0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395\right)\right)}}\right)\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019200 +o rules:numerics
(FPCore (x)
  :name "invcot (example 3.9)"
  :pre (and (< -0.026 x) (< x 0.026))

  :herbie-target
  (if (< (fabs x) 0.026) (* (/ x 3.0) (+ 1.0 (/ (* x x) 15.0))) (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x))))

  (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x))))