Average Error: 29.7 → 0.9
Time: 39.8s
Precision: 64
\[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \le 59.87165213531014984482681029476225376129:\\ \;\;\;\;\frac{2 + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right) - 1 \cdot \left(1 \cdot 1\right)\right)}{e^{\sqrt[3]{\log \left(\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right)\right) \cdot \left(\log \left(\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right)\right) \cdot \log \left(\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right)\right)\right)}} + \left(1 \cdot \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right) + 1 \cdot 1\right)}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{1 - \frac{1}{\varepsilon}}{e^{x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)}} + \frac{1 + \frac{1}{\varepsilon}}{e^{\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x}}}{2}\\ \end{array}\]
\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;x \le 59.87165213531014984482681029476225376129:\\
\;\;\;\;\frac{2 + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right) - 1 \cdot \left(1 \cdot 1\right)\right)}{e^{\sqrt[3]{\log \left(\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right)\right) \cdot \left(\log \left(\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right)\right) \cdot \log \left(\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right)\right)\right)}} + \left(1 \cdot \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right) + 1 \cdot 1\right)}}{2}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\frac{\frac{1 - \frac{1}{\varepsilon}}{e^{x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)}} + \frac{1 + \frac{1}{\varepsilon}}{e^{\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x}}}{2}\\

\end{array}
double f(double x, double eps) {
        double r2667157 = 1.0;
        double r2667158 = eps;
        double r2667159 = r2667157 / r2667158;
        double r2667160 = r2667157 + r2667159;
        double r2667161 = r2667157 - r2667158;
        double r2667162 = x;
        double r2667163 = r2667161 * r2667162;
        double r2667164 = -r2667163;
        double r2667165 = exp(r2667164);
        double r2667166 = r2667160 * r2667165;
        double r2667167 = r2667159 - r2667157;
        double r2667168 = r2667157 + r2667158;
        double r2667169 = r2667168 * r2667162;
        double r2667170 = -r2667169;
        double r2667171 = exp(r2667170);
        double r2667172 = r2667167 * r2667171;
        double r2667173 = r2667166 - r2667172;
        double r2667174 = 2.0;
        double r2667175 = r2667173 / r2667174;
        return r2667175;
}
↓
double f(double x, double eps) {
        double r2667176 = x;
        double r2667177 = 59.87165213531015;
        bool r2667178 = r2667176 <= r2667177;
        double r2667179 = 2.0;
        double r2667180 = r2667176 * r2667176;
        double r2667181 = 0.6666666666666667;
        double r2667182 = r2667181 * r2667176;
        double r2667183 = r2667182 * r2667182;
        double r2667184 = r2667183 * r2667182;
        double r2667185 = 1.0;
        double r2667186 = r2667185 * r2667185;
        double r2667187 = r2667185 * r2667186;
        double r2667188 = r2667184 - r2667187;
        double r2667189 = r2667180 * r2667188;
        double r2667190 = log(r2667183);
        double r2667191 = r2667190 * r2667190;
        double r2667192 = r2667190 * r2667191;
        double r2667193 = cbrt(r2667192);
        double r2667194 = exp(r2667193);
        double r2667195 = r2667185 * r2667182;
        double r2667196 = r2667195 + r2667186;
        double r2667197 = r2667194 + r2667196;
        double r2667198 = r2667189 / r2667197;
        double r2667199 = r2667179 + r2667198;
        double r2667200 = r2667199 / r2667179;
        double r2667201 = eps;
        double r2667202 = r2667185 / r2667201;
        double r2667203 = r2667185 - r2667202;
        double r2667204 = r2667185 + r2667201;
        double r2667205 = r2667176 * r2667204;
        double r2667206 = exp(r2667205);
        double r2667207 = r2667203 / r2667206;
        double r2667208 = r2667185 + r2667202;
        double r2667209 = r2667185 - r2667201;
        double r2667210 = r2667209 * r2667176;
        double r2667211 = exp(r2667210);
        double r2667212 = r2667208 / r2667211;
        double r2667213 = r2667207 + r2667212;
        double r2667214 = r2667213 / r2667179;
        double r2667215 = r2667178 ? r2667200 : r2667214;
        return r2667215;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus eps

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if x < 59.87165213531015

    1. Initial program 39.3

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]

    2. Simplified39.3

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1 - \frac{1}{\varepsilon}}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + 1\right)}} + \frac{1 + \frac{1}{\varepsilon}}{e^{x \cdot \left(1 - \varepsilon\right)}}}{2}}\]

    3. Taylor expanded around 0 1.1

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}}}{2}\]

    4. Simplified1.1

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1\right)}}{2}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied flip3--1.1

      \[\leadsto \frac{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\frac{{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right)}^{3} - {1}^{3}}{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right) + \left(1 \cdot 1 + \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right) \cdot 1\right)}}}{2}\]

    7. Applied associate-*r/1.1

      \[\leadsto \frac{2 + \color{blue}{\frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left({\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right)}^{3} - {1}^{3}\right)}{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right) + \left(1 \cdot 1 + \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right) \cdot 1\right)}}}{2}\]

    8. Simplified1.1

      \[\leadsto \frac{2 + \frac{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right) - 1 \cdot \left(1 \cdot 1\right)\right)}}{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right) + \left(1 \cdot 1 + \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right) \cdot 1\right)}}{2}\]
    9. Using strategy rm

    10. Applied add-exp-log1.1

      \[\leadsto \frac{2 + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right) - 1 \cdot \left(1 \cdot 1\right)\right)}{\color{blue}{e^{\log \left(\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right)\right)}} + \left(1 \cdot 1 + \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right) \cdot 1\right)}}{2}\]
    11. Using strategy rm

    12. Applied add-cbrt-cube1.1

      \[\leadsto \frac{2 + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right) - 1 \cdot \left(1 \cdot 1\right)\right)}{e^{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\log \left(\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right)\right) \cdot \log \left(\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right)\right)\right) \cdot \log \left(\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right)\right)}}} + \left(1 \cdot 1 + \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right) \cdot 1\right)}}{2}\]

    if 59.87165213531015 < x

    1. Initial program 0.4

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]

    2. Simplified0.4

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1 - \frac{1}{\varepsilon}}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + 1\right)}} + \frac{1 + \frac{1}{\varepsilon}}{e^{x \cdot \left(1 - \varepsilon\right)}}}{2}}\]

    3. Taylor expanded around inf 0.4

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 \cdot \frac{1}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + 1\right)}} - 1 \cdot \frac{1}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + 1\right)} \cdot \varepsilon}\right)} + \frac{1 + \frac{1}{\varepsilon}}{e^{x \cdot \left(1 - \varepsilon\right)}}}{2}\]

    4. Simplified0.4

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{1 - \frac{1}{\varepsilon}}{e^{x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)}}} + \frac{1 + \frac{1}{\varepsilon}}{e^{x \cdot \left(1 - \varepsilon\right)}}}{2}\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification0.9

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \le 59.87165213531014984482681029476225376129:\\ \;\;\;\;\frac{2 + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right) - 1 \cdot \left(1 \cdot 1\right)\right)}{e^{\sqrt[3]{\log \left(\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right)\right) \cdot \left(\log \left(\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right)\right) \cdot \log \left(\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right)\right)\right)}} + \left(1 \cdot \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x\right) + 1 \cdot 1\right)}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{1 - \frac{1}{\varepsilon}}{e^{x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)}} + \frac{1 + \frac{1}{\varepsilon}}{e^{\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x}}}{2}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019200 
(FPCore (x eps)
  :name "NMSE Section 6.1 mentioned, A"
  (/ (- (* (+ 1.0 (/ 1.0 eps)) (exp (- (* (- 1.0 eps) x)))) (* (- (/ 1.0 eps) 1.0) (exp (- (* (+ 1.0 eps) x))))) 2.0))