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Time: 19.0s
Precision: 64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \le -9.439166578523512274653878650896323414939 \cdot 10^{-151}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\ \mathbf{elif}\;im \le -4.032427712052753832724847291903676224469 \cdot 10^{-269}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{4 \cdot re}\\ \mathbf{elif}\;im \le 3.878426650942859959181735975108696171678 \cdot 10^{-204}:\\ \;\;\;\;0\\ \mathbf{elif}\;im \le 1.718871584992604186570063234119900444233 \cdot 10^{-165}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{4 \cdot re}\\ \mathbf{elif}\;im \le 1.372553746184739962861800392089830190296 \cdot 10^{91}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}}\right) + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(im + re\right) \cdot 2} \cdot 0.5\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;im \le -9.439166578523512274653878650896323414939 \cdot 10^{-151}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\

\mathbf{elif}\;im \le -4.032427712052753832724847291903676224469 \cdot 10^{-269}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{4 \cdot re}\\

\mathbf{elif}\;im \le 3.878426650942859959181735975108696171678 \cdot 10^{-204}:\\
\;\;\;\;0\\

\mathbf{elif}\;im \le 1.718871584992604186570063234119900444233 \cdot 10^{-165}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{4 \cdot re}\\

\mathbf{elif}\;im \le 1.372553746184739962861800392089830190296 \cdot 10^{91}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}}\right) + re\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\sqrt{\left(im + re\right) \cdot 2} \cdot 0.5\\

\end{array}
double f(double re, double im) {
        double r7853018 = 0.5;
        double r7853019 = 2.0;
        double r7853020 = re;
        double r7853021 = r7853020 * r7853020;
        double r7853022 = im;
        double r7853023 = r7853022 * r7853022;
        double r7853024 = r7853021 + r7853023;
        double r7853025 = sqrt(r7853024);
        double r7853026 = r7853025 + r7853020;
        double r7853027 = r7853019 * r7853026;
        double r7853028 = sqrt(r7853027);
        double r7853029 = r7853018 * r7853028;
        return r7853029;
}
↓
double f(double re, double im) {
        double r7853030 = im;
        double r7853031 = -9.439166578523512e-151;
        bool r7853032 = r7853030 <= r7853031;
        double r7853033 = 0.5;
        double r7853034 = 2.0;
        double r7853035 = r7853030 * r7853030;
        double r7853036 = r7853034 * r7853035;
        double r7853037 = re;
        double r7853038 = r7853037 * r7853037;
        double r7853039 = r7853035 + r7853038;
        double r7853040 = sqrt(r7853039);
        double r7853041 = r7853040 - r7853037;
        double r7853042 = r7853036 / r7853041;
        double r7853043 = sqrt(r7853042);
        double r7853044 = r7853033 * r7853043;
        double r7853045 = -4.032427712052754e-269;
        bool r7853046 = r7853030 <= r7853045;
        double r7853047 = 4.0;
        double r7853048 = r7853047 * r7853037;
        double r7853049 = sqrt(r7853048);
        double r7853050 = r7853033 * r7853049;
        double r7853051 = 3.87842665094286e-204;
        bool r7853052 = r7853030 <= r7853051;
        double r7853053 = 0.0;
        double r7853054 = 1.7188715849926042e-165;
        bool r7853055 = r7853030 <= r7853054;
        double r7853056 = 1.37255374618474e+91;
        bool r7853057 = r7853030 <= r7853056;
        double r7853058 = sqrt(r7853040);
        double r7853059 = sqrt(r7853058);
        double r7853060 = r7853059 * r7853059;
        double r7853061 = r7853060 * r7853060;
        double r7853062 = r7853061 + r7853037;
        double r7853063 = r7853034 * r7853062;
        double r7853064 = sqrt(r7853063);
        double r7853065 = r7853033 * r7853064;
        double r7853066 = r7853030 + r7853037;
        double r7853067 = r7853066 * r7853034;
        double r7853068 = sqrt(r7853067);
        double r7853069 = r7853068 * r7853033;
        double r7853070 = r7853057 ? r7853065 : r7853069;
        double r7853071 = r7853055 ? r7853050 : r7853070;
        double r7853072 = r7853052 ? r7853053 : r7853071;
        double r7853073 = r7853046 ? r7853050 : r7853072;
        double r7853074 = r7853032 ? r7853044 : r7853073;
        return r7853074;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original37.9
Target32.7
Herbie31.1
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0.0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 5 regimes

  2. if im < -9.439166578523512e-151

    1. Initial program 36.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+41.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/41.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Simplified36.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\frac{\color{blue}{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    if -9.439166578523512e-151 < im < -4.032427712052754e-269 or 3.87842665094286e-204 < im < 1.7188715849926042e-165

    1. Initial program 41.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 36.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{4 \cdot re}}\]

    if -4.032427712052754e-269 < im < 3.87842665094286e-204

    1. Initial program 42.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around -inf 49.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{0}}\]

    if 1.7188715849926042e-165 < im < 1.37255374618474e+91

    1. Initial program 25.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt25.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod25.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied add-sqr-sqrt25.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}} + re\right)}\]

    7. Applied sqrt-prod25.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}} + re\right)}\]

    8. Applied sqrt-prod25.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)} + re\right)}\]

    9. Applied add-sqr-sqrt25.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right) + re\right)}\]

    10. Applied sqrt-prod25.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right) + re\right)}\]

    11. Applied sqrt-prod26.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right) + re\right)}\]

    12. Applied swap-sqr26.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)} + re\right)}\]

    if 1.37255374618474e+91 < im

    1. Initial program 49.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt49.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod49.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    5. Taylor expanded around 0 10.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(re + im\right)}}\]
  3. Recombined 5 regimes into one program.

  4. Final simplification31.1

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \le -9.439166578523512274653878650896323414939 \cdot 10^{-151}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\ \mathbf{elif}\;im \le -4.032427712052753832724847291903676224469 \cdot 10^{-269}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{4 \cdot re}\\ \mathbf{elif}\;im \le 3.878426650942859959181735975108696171678 \cdot 10^{-204}:\\ \;\;\;\;0\\ \mathbf{elif}\;im \le 1.718871584992604186570063234119900444233 \cdot 10^{-165}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{4 \cdot re}\\ \mathbf{elif}\;im \le 1.372553746184739962861800392089830190296 \cdot 10^{91}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}}\right) + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(im + re\right) \cdot 2} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019172 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2.0) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))