Falkner and Boettcher, Appendix B, 1

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Math

\[\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)\]

↓

\[\sqrt{\cos^{-1} \left(\frac{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{v \cdot v - 1}\right)} \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{\cos^{-1} \left(\frac{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{v \cdot v - 1}\right) \cdot \left(\cos^{-1} \left(\frac{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{v \cdot v - 1}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\frac{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{v \cdot v - 1}\right)\right)}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{\cos^{-1} \left(\frac{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{v \cdot v - 1}\right) \cdot \left(\cos^{-1} \left(\frac{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{v \cdot v - 1}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\frac{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{v \cdot v - 1}\right)\right)}}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{\cos^{-1} \left(\frac{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{v \cdot v - 1}\right) \cdot \left(\cos^{-1} \left(\frac{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{v \cdot v - 1}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\frac{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{v \cdot v - 1}\right)\right)}}}\right)\]

C

double f(double v) {
        double r6355229 = 1.0;
        double r6355230 = 5.0;
        double r6355231 = v;
        double r6355232 = r6355231 * r6355231;
        double r6355233 = r6355230 * r6355232;
        double r6355234 = r6355229 - r6355233;
        double r6355235 = r6355232 - r6355229;
        double r6355236 = r6355234 / r6355235;
        double r6355237 = acos(r6355236);
        return r6355237;
}

↓

double f(double v) {
        double r6355238 = 1.0;
        double r6355239 = v;
        double r6355240 = r6355239 * r6355239;
        double r6355241 = 5.0;
        double r6355242 = r6355240 * r6355241;
        double r6355243 = r6355238 - r6355242;
        double r6355244 = r6355240 - r6355238;
        double r6355245 = r6355243 / r6355244;
        double r6355246 = acos(r6355245);
        double r6355247 = sqrt(r6355246);
        double r6355248 = r6355246 * r6355246;
        double r6355249 = r6355246 * r6355248;
        double r6355250 = cbrt(r6355249);
        double r6355251 = sqrt(r6355250);
        double r6355252 = cbrt(r6355251);
        double r6355253 = r6355252 * r6355252;
        double r6355254 = r6355253 * r6355252;
        double r6355255 = r6355247 * r6355254;
        return r6355255;
}

Error

Bits error versus v

Derivation

1. Initial program 0.6

   \[\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)\]
2. Using strategy rm

3. Applied add-sqr-sqrt 1.5

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)} \cdot \sqrt{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)}}\]
4. Using strategy rm

5. Applied add-cbrt-cube 0.6

   \[\leadsto \sqrt{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)} \cdot \sqrt{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)}}}\]
6. Using strategy rm

7. Applied add-cube-cbrt 0.6

   \[\leadsto \sqrt{\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)} \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{\left(\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{\left(\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)}}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{\left(\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)\right) \cdot \cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)}}}\right)}\]

8. Final simplification 0.6

   \[\leadsto \sqrt{\cos^{-1} \left(\frac{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{v \cdot v - 1}\right)} \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{\cos^{-1} \left(\frac{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{v \cdot v - 1}\right) \cdot \left(\cos^{-1} \left(\frac{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{v \cdot v - 1}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\frac{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{v \cdot v - 1}\right)\right)}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{\cos^{-1} \left(\frac{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{v \cdot v - 1}\right) \cdot \left(\cos^{-1} \left(\frac{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{v \cdot v - 1}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\frac{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{v \cdot v - 1}\right)\right)}}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{\cos^{-1} \left(\frac{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{v \cdot v - 1}\right) \cdot \left(\cos^{-1} \left(\frac{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{v \cdot v - 1}\right) \cdot \cos^{-1} \left(\frac{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{v \cdot v - 1}\right)\right)}}}\right)\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019168 
(FPCore (v)
  :name "Falkner and Boettcher, Appendix B, 1"
  (acos (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (- (* v v) 1))))