Average Error: 59.9 → 0.0
Time: 57.2s
Precision: 64
\[-0.026 \lt x \land x \lt 0.026\]
\[\frac{1.0}{x} - \frac{1.0}{\tan x}\]
↓
\[{x}^{5} \cdot 0.0021164021164021165 + \frac{x}{\frac{\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.022222222222222223\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.022222222222222223\right) - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.022222222222222223\right) \cdot 0.3333333333333333\right) + 0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333}{\left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot 0.3333333333333333 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.022222222222222223\right) \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.022222222222222223\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.022222222222222223\right)\right)}}\]
\frac{1.0}{x} - \frac{1.0}{\tan x}
↓
{x}^{5} \cdot 0.0021164021164021165 + \frac{x}{\frac{\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.022222222222222223\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.022222222222222223\right) - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.022222222222222223\right) \cdot 0.3333333333333333\right) + 0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333}{\left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot 0.3333333333333333 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.022222222222222223\right) \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.022222222222222223\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.022222222222222223\right)\right)}}
double f(double x) {
        double r5976944 = 1.0;
        double r5976945 = x;
        double r5976946 = r5976944 / r5976945;
        double r5976947 = tan(r5976945);
        double r5976948 = r5976944 / r5976947;
        double r5976949 = r5976946 - r5976948;
        return r5976949;
}
↓
double f(double x) {
        double r5976950 = x;
        double r5976951 = 5.0;
        double r5976952 = pow(r5976950, r5976951);
        double r5976953 = 0.0021164021164021165;
        double r5976954 = r5976952 * r5976953;
        double r5976955 = r5976950 * r5976950;
        double r5976956 = 0.022222222222222223;
        double r5976957 = r5976955 * r5976956;
        double r5976958 = r5976957 * r5976957;
        double r5976959 = 0.3333333333333333;
        double r5976960 = r5976957 * r5976959;
        double r5976961 = r5976958 - r5976960;
        double r5976962 = r5976959 * r5976959;
        double r5976963 = r5976961 + r5976962;
        double r5976964 = r5976962 * r5976959;
        double r5976965 = r5976957 * r5976958;
        double r5976966 = r5976964 + r5976965;
        double r5976967 = r5976963 / r5976966;
        double r5976968 = r5976950 / r5976967;
        double r5976969 = r5976954 + r5976968;
        return r5976969;
}

Error

Bits error versus x

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original59.9
Target0.1
Herbie0.0
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| \lt 0.026:\\ \;\;\;\;\frac{x}{3.0} \cdot \left(1.0 + \frac{x \cdot x}{15.0}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1.0}{x} - \frac{1.0}{\tan x}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Initial program 59.9

    \[\frac{1.0}{x} - \frac{1.0}{\tan x}\]

  2. Taylor expanded around 0 0.3

    \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot x + \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} + 0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5}\right)}\]

  3. Simplified0.3

    \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.022222222222222223\right) + {x}^{5} \cdot 0.0021164021164021165}\]
  4. Using strategy rm

  5. Applied flip3-+1.2

    \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\frac{{0.3333333333333333}^{3} + {\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.022222222222222223\right)}^{3}}{0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333 + \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.022222222222222223\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.022222222222222223\right) - 0.3333333333333333 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.022222222222222223\right)\right)}} + {x}^{5} \cdot 0.0021164021164021165\]

  6. Applied associate-*r/1.1

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{x \cdot \left({0.3333333333333333}^{3} + {\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.022222222222222223\right)}^{3}\right)}{0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333 + \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.022222222222222223\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.022222222222222223\right) - 0.3333333333333333 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.022222222222222223\right)\right)}} + {x}^{5} \cdot 0.0021164021164021165\]

  7. Simplified0.3

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.022222222222222223\right) \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.022222222222222223\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.022222222222222223\right)\right) + \left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}}{0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333 + \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.022222222222222223\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.022222222222222223\right) - 0.3333333333333333 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.022222222222222223\right)\right)} + {x}^{5} \cdot 0.0021164021164021165\]
  8. Using strategy rm

  9. Applied associate-/l*0.0

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\frac{0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333 + \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.022222222222222223\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.022222222222222223\right) - 0.3333333333333333 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.022222222222222223\right)\right)}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.022222222222222223\right) \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.022222222222222223\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.022222222222222223\right)\right) + \left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot 0.3333333333333333}}} + {x}^{5} \cdot 0.0021164021164021165\]

  10. Final simplification0.0

    \[\leadsto {x}^{5} \cdot 0.0021164021164021165 + \frac{x}{\frac{\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.022222222222222223\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.022222222222222223\right) - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.022222222222222223\right) \cdot 0.3333333333333333\right) + 0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333}{\left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot 0.3333333333333333 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.022222222222222223\right) \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.022222222222222223\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.022222222222222223\right)\right)}}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019165 
(FPCore (x)
  :name "invcot (example 3.9)"
  :pre (and (< -0.026 x) (< x 0.026))

  :herbie-target
  (if (< (fabs x) 0.026) (* (/ x 3.0) (+ 1.0 (/ (* x x) 15.0))) (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x))))

  (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x))))