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Precision: 64
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -1.354527584030358 \cdot 10^{+95}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(-2 \cdot re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le -1.0404767944743206 \cdot 10^{-265}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} - re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \le -1.354527584030358 \cdot 10^{+95}:\\
\;\;\;\;\sqrt{\left(-2 \cdot re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\

\mathbf{elif}\;re \le -1.0404767944743206 \cdot 10^{-265}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} - re\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}}\\

\end{array}
double f(double re, double im) {
        double r1093047 = 0.5;
        double r1093048 = 2.0;
        double r1093049 = re;
        double r1093050 = r1093049 * r1093049;
        double r1093051 = im;
        double r1093052 = r1093051 * r1093051;
        double r1093053 = r1093050 + r1093052;
        double r1093054 = sqrt(r1093053);
        double r1093055 = r1093054 - r1093049;
        double r1093056 = r1093048 * r1093055;
        double r1093057 = sqrt(r1093056);
        double r1093058 = r1093047 * r1093057;
        return r1093058;
}
↓
double f(double re, double im) {
        double r1093059 = re;
        double r1093060 = -1.354527584030358e+95;
        bool r1093061 = r1093059 <= r1093060;
        double r1093062 = -2.0;
        double r1093063 = r1093062 * r1093059;
        double r1093064 = 2.0;
        double r1093065 = r1093063 * r1093064;
        double r1093066 = sqrt(r1093065);
        double r1093067 = 0.5;
        double r1093068 = r1093066 * r1093067;
        double r1093069 = -1.0404767944743206e-265;
        bool r1093070 = r1093059 <= r1093069;
        double r1093071 = im;
        double r1093072 = r1093071 * r1093071;
        double r1093073 = r1093059 * r1093059;
        double r1093074 = r1093072 + r1093073;
        double r1093075 = sqrt(r1093074);
        double r1093076 = cbrt(r1093075);
        double r1093077 = r1093076 * r1093076;
        double r1093078 = r1093077 * r1093076;
        double r1093079 = r1093078 - r1093059;
        double r1093080 = r1093064 * r1093079;
        double r1093081 = sqrt(r1093080);
        double r1093082 = r1093067 * r1093081;
        double r1093083 = r1093075 + r1093059;
        double r1093084 = r1093072 / r1093083;
        double r1093085 = r1093064 * r1093084;
        double r1093086 = sqrt(r1093085);
        double r1093087 = r1093067 * r1093086;
        double r1093088 = r1093070 ? r1093082 : r1093087;
        double r1093089 = r1093061 ? r1093068 : r1093088;
        return r1093089;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if re < -1.354527584030358e+95

    1. Initial program 49.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around -inf 10.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot re\right)}}\]

    if -1.354527584030358e+95 < re < -1.0404767944743206e-265

    1. Initial program 18.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-cube-cbrt19.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]

    if -1.0404767944743206e-265 < re

    1. Initial program 43.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-cube-cbrt44.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied flip--44.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re \cdot re}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re}}}\]

    6. Simplified34.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im}}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re}}\]

    7. Simplified34.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \frac{im \cdot im}{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification25.8

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -1.354527584030358 \cdot 10^{+95}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(-2 \cdot re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le -1.0404767944743206 \cdot 10^{-265}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} - re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019164 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))