Average Error: 28.9 → 25.4
Time: 34.8s
Precision: 64
\[1.0536712127723509 \cdot 10^{-08} \lt a \lt 94906265.62425156 \land 1.0536712127723509 \cdot 10^{-08} \lt b \lt 94906265.62425156 \land 1.0536712127723509 \cdot 10^{-08} \lt c \lt 94906265.62425156\]
\[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]
↓
\[\frac{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)} - b \cdot \left(b \cdot b\right)}{\mathsf{fma}\left(b, \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}, \mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, b \cdot b + \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)\right)}}{3 \cdot a}\]
\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}
↓
\frac{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)} - b \cdot \left(b \cdot b\right)}{\mathsf{fma}\left(b, \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}, \mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, b \cdot b + \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)\right)}}{3 \cdot a}
double f(double a, double b, double c) {
        double r2084883 = b;
        double r2084884 = -r2084883;
        double r2084885 = r2084883 * r2084883;
        double r2084886 = 3.0;
        double r2084887 = a;
        double r2084888 = r2084886 * r2084887;
        double r2084889 = c;
        double r2084890 = r2084888 * r2084889;
        double r2084891 = r2084885 - r2084890;
        double r2084892 = sqrt(r2084891);
        double r2084893 = r2084884 + r2084892;
        double r2084894 = r2084893 / r2084888;
        return r2084894;
}
↓
double f(double a, double b, double c) {
        double r2084895 = a;
        double r2084896 = c;
        double r2084897 = r2084895 * r2084896;
        double r2084898 = -3.0;
        double r2084899 = b;
        double r2084900 = r2084899 * r2084899;
        double r2084901 = fma(r2084897, r2084898, r2084900);
        double r2084902 = sqrt(r2084901);
        double r2084903 = r2084897 * r2084898;
        double r2084904 = r2084902 * r2084903;
        double r2084905 = fma(r2084898, r2084897, r2084900);
        double r2084906 = sqrt(r2084905);
        double r2084907 = r2084905 * r2084906;
        double r2084908 = r2084899 * r2084900;
        double r2084909 = r2084907 - r2084908;
        double r2084910 = r2084905 + r2084900;
        double r2084911 = fma(r2084899, r2084906, r2084910);
        double r2084912 = r2084909 / r2084911;
        double r2084913 = r2084900 * r2084912;
        double r2084914 = r2084904 + r2084913;
        double r2084915 = r2084900 + r2084901;
        double r2084916 = fma(r2084902, r2084899, r2084915);
        double r2084917 = r2084914 / r2084916;
        double r2084918 = 3.0;
        double r2084919 = r2084918 * r2084895;
        double r2084920 = r2084917 / r2084919;
        return r2084920;
}

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Derivation

  1. Initial program 28.9

    \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]

  2. Simplified28.9

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} - b}{3 \cdot a}}\]
  3. Using strategy rm

  4. Applied flip3--29.0

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}\right)}^{3} - {b}^{3}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} + \left(b \cdot b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} \cdot b\right)}}}{3 \cdot a}\]

  5. Simplified28.3

    \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) - b \cdot \left(b \cdot b\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} + \left(b \cdot b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]

  6. Simplified28.3

    \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) - b \cdot \left(b \cdot b\right)}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, b \cdot b + \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)\right)}}}{3 \cdot a}\]
  7. Using strategy rm

  8. Applied fma-udef28.3

    \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \color{blue}{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3 + b \cdot b\right)} - b \cdot \left(b \cdot b\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, b \cdot b + \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)\right)}}{3 \cdot a}\]

  9. Applied distribute-lft-in28.2

    \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \left(b \cdot b\right)\right)} - b \cdot \left(b \cdot b\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, b \cdot b + \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)\right)}}{3 \cdot a}\]

  10. Applied associate--l+26.4

    \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) + \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \left(b \cdot b\right) - b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, b \cdot b + \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)\right)}}{3 \cdot a}\]
  11. Using strategy rm

  12. Applied distribute-rgt-out--26.0

    \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) + \color{blue}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} - b\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, b \cdot b + \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)\right)}}{3 \cdot a}\]
  13. Using strategy rm

  14. Applied flip3--26.0

    \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right)}^{3} - {b}^{3}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \left(b \cdot b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot b\right)}}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, b \cdot b + \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)\right)}}{3 \cdot a}\]

  15. Simplified25.4

    \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right) - b \cdot \left(b \cdot b\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \left(b \cdot b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot b\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, b \cdot b + \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)\right)}}{3 \cdot a}\]

  16. Simplified25.4

    \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right) - b \cdot \left(b \cdot b\right)}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(b, \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}, b \cdot b + \mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)\right)}}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, b \cdot b + \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)\right)}}{3 \cdot a}\]

  17. Final simplification25.4

    \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) + \left(b \cdot b\right) \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)} - b \cdot \left(b \cdot b\right)}{\mathsf{fma}\left(b, \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}, \mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, b \cdot b + \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)\right)}}{3 \cdot a}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019151 +o rules:numerics
(FPCore (a b c)
  :name "Cubic critical, narrow range"
  :pre (and (< 1.0536712127723509e-08 a 94906265.62425156) (< 1.0536712127723509e-08 b 94906265.62425156) (< 1.0536712127723509e-08 c 94906265.62425156))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* 3 a)))