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Time: 17.7s
Precision: 64
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -1.7863494379547703 \cdot 10^{+149}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{\left(-re\right) - re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 3.042896836676475 \cdot 10^{-307}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\left|im\right| \cdot \sqrt{2.0}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 9.64981817813616 \cdot 10^{+122}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(re + \left(\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}\right)}\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(re + re\right)} \cdot 0.5\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \le -1.7863494379547703 \cdot 10^{+149}:\\
\;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{\left(-re\right) - re}} \cdot 0.5\\

\mathbf{elif}\;re \le 3.042896836676475 \cdot 10^{-307}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\left|im\right| \cdot \sqrt{2.0}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\

\mathbf{elif}\;re \le 9.64981817813616 \cdot 10^{+122}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(re + \left(\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}\right)}\right) \cdot 2.0}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(re + re\right)} \cdot 0.5\\

\end{array}
double f(double re, double im) {
        double r6366206 = 0.5;
        double r6366207 = 2.0;
        double r6366208 = re;
        double r6366209 = r6366208 * r6366208;
        double r6366210 = im;
        double r6366211 = r6366210 * r6366210;
        double r6366212 = r6366209 + r6366211;
        double r6366213 = sqrt(r6366212);
        double r6366214 = r6366213 + r6366208;
        double r6366215 = r6366207 * r6366214;
        double r6366216 = sqrt(r6366215);
        double r6366217 = r6366206 * r6366216;
        return r6366217;
}
↓
double f(double re, double im) {
        double r6366218 = re;
        double r6366219 = -1.7863494379547703e+149;
        bool r6366220 = r6366218 <= r6366219;
        double r6366221 = im;
        double r6366222 = r6366221 * r6366221;
        double r6366223 = 2.0;
        double r6366224 = r6366222 * r6366223;
        double r6366225 = sqrt(r6366224);
        double r6366226 = -r6366218;
        double r6366227 = r6366226 - r6366218;
        double r6366228 = sqrt(r6366227);
        double r6366229 = r6366225 / r6366228;
        double r6366230 = 0.5;
        double r6366231 = r6366229 * r6366230;
        double r6366232 = 3.042896836676475e-307;
        bool r6366233 = r6366218 <= r6366232;
        double r6366234 = fabs(r6366221);
        double r6366235 = sqrt(r6366223);
        double r6366236 = r6366234 * r6366235;
        double r6366237 = r6366218 * r6366218;
        double r6366238 = r6366222 + r6366237;
        double r6366239 = sqrt(r6366238);
        double r6366240 = r6366239 - r6366218;
        double r6366241 = sqrt(r6366240);
        double r6366242 = r6366236 / r6366241;
        double r6366243 = r6366230 * r6366242;
        double r6366244 = 9.64981817813616e+122;
        bool r6366245 = r6366218 <= r6366244;
        double r6366246 = cbrt(r6366239);
        double r6366247 = r6366246 * r6366246;
        double r6366248 = r6366246 * r6366247;
        double r6366249 = cbrt(r6366248);
        double r6366250 = r6366247 * r6366249;
        double r6366251 = r6366218 + r6366250;
        double r6366252 = r6366251 * r6366223;
        double r6366253 = sqrt(r6366252);
        double r6366254 = r6366230 * r6366253;
        double r6366255 = r6366218 + r6366218;
        double r6366256 = r6366223 * r6366255;
        double r6366257 = sqrt(r6366256);
        double r6366258 = r6366257 * r6366230;
        double r6366259 = r6366245 ? r6366254 : r6366258;
        double r6366260 = r6366233 ? r6366243 : r6366259;
        double r6366261 = r6366220 ? r6366231 : r6366260;
        return r6366261;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original37.4
Target32.6
Herbie18.8
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if re < -1.7863494379547703e+149

    1. Initial program 62.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+62.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/62.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div62.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified49.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot im + 0\right) \cdot 2.0}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    7. Taylor expanded around -inf 19.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im + 0\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{\color{blue}{-1 \cdot re} - re}}\]

    8. Simplified19.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im + 0\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{\color{blue}{\left(-re\right)} - re}}\]

    if -1.7863494379547703e+149 < re < 3.042896836676475e-307

    1. Initial program 39.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+38.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/38.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div39.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified29.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot im + 0\right) \cdot 2.0}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied sqrt-prod29.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot im + 0} \cdot \sqrt{2.0}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    9. Simplified20.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\left|im\right|} \cdot \sqrt{2.0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    if 3.042896836676475e-307 < re < 9.64981817813616e+122

    1. Initial program 19.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-cube-cbrt20.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied add-cube-cbrt20.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}} + re\right)}\]

    if 9.64981817813616e+122 < re

    1. Initial program 52.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 10.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification18.8

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -1.7863494379547703 \cdot 10^{+149}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{\left(-re\right) - re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 3.042896836676475 \cdot 10^{-307}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\left|im\right| \cdot \sqrt{2.0}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 9.64981817813616 \cdot 10^{+122}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(re + \left(\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}\right)}\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(re + re\right)} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019149 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"

  :herbie-target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))