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Precision: 64
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -1.4431880858205433 \cdot 10^{+94}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(-2 \cdot re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 5.733285307974192 \cdot 10^{-284}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} - re\right)} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \le -1.4431880858205433 \cdot 10^{+94}:\\
\;\;\;\;\sqrt{\left(-2 \cdot re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\

\mathbf{elif}\;re \le 5.733285307974192 \cdot 10^{-284}:\\
\;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} - re\right)} \cdot 0.5\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}}\\

\end{array}
double f(double re, double im) {
        double r506492 = 0.5;
        double r506493 = 2.0;
        double r506494 = re;
        double r506495 = r506494 * r506494;
        double r506496 = im;
        double r506497 = r506496 * r506496;
        double r506498 = r506495 + r506497;
        double r506499 = sqrt(r506498);
        double r506500 = r506499 - r506494;
        double r506501 = r506493 * r506500;
        double r506502 = sqrt(r506501);
        double r506503 = r506492 * r506502;
        return r506503;
}
↓
double f(double re, double im) {
        double r506504 = re;
        double r506505 = -1.4431880858205433e+94;
        bool r506506 = r506504 <= r506505;
        double r506507 = -2.0;
        double r506508 = r506507 * r506504;
        double r506509 = 2.0;
        double r506510 = r506508 * r506509;
        double r506511 = sqrt(r506510);
        double r506512 = 0.5;
        double r506513 = r506511 * r506512;
        double r506514 = 5.733285307974192e-284;
        bool r506515 = r506504 <= r506514;
        double r506516 = im;
        double r506517 = r506516 * r506516;
        double r506518 = r506504 * r506504;
        double r506519 = r506517 + r506518;
        double r506520 = sqrt(r506519);
        double r506521 = sqrt(r506520);
        double r506522 = r506521 * r506521;
        double r506523 = r506522 - r506504;
        double r506524 = r506509 * r506523;
        double r506525 = sqrt(r506524);
        double r506526 = r506525 * r506512;
        double r506527 = r506517 * r506509;
        double r506528 = sqrt(r506527);
        double r506529 = r506520 + r506504;
        double r506530 = sqrt(r506529);
        double r506531 = r506528 / r506530;
        double r506532 = r506512 * r506531;
        double r506533 = r506515 ? r506526 : r506532;
        double r506534 = r506506 ? r506513 : r506533;
        return r506534;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if re < -1.4431880858205433e+94

    1. Initial program 47.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around -inf 9.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot re\right)}}\]

    if -1.4431880858205433e+94 < re < 5.733285307974192e-284

    1. Initial program 21.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt21.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]

    if 5.733285307974192e-284 < re

    1. Initial program 44.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip--44.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    4. Applied associate-*r/44.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    5. Applied sqrt-div45.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    6. Simplified33.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2.0 + 0}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification25.1

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -1.4431880858205433 \cdot 10^{+94}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(-2 \cdot re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 5.733285307974192 \cdot 10^{-284}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} - re\right)} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019138 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))