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Precision: 64
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -4.227005657404525 \cdot 10^{+106}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(-2 \cdot re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.356927887038044 \cdot 10^{-279}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt[3]{\left(\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}\right) - re\right)} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 2.964833325386901 \cdot 10^{-84}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(im - re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}} \cdot 0.5\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \le -4.227005657404525 \cdot 10^{+106}:\\
\;\;\;\;\sqrt{\left(-2 \cdot re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\

\mathbf{elif}\;re \le 1.356927887038044 \cdot 10^{-279}:\\
\;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt[3]{\left(\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}\right) - re\right)} \cdot 0.5\\

\mathbf{elif}\;re \le 2.964833325386901 \cdot 10^{-84}:\\
\;\;\;\;\sqrt{\left(im - re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}} \cdot 0.5\\

\end{array}
double f(double re, double im) {
        double r747185 = 0.5;
        double r747186 = 2.0;
        double r747187 = re;
        double r747188 = r747187 * r747187;
        double r747189 = im;
        double r747190 = r747189 * r747189;
        double r747191 = r747188 + r747190;
        double r747192 = sqrt(r747191);
        double r747193 = r747192 - r747187;
        double r747194 = r747186 * r747193;
        double r747195 = sqrt(r747194);
        double r747196 = r747185 * r747195;
        return r747196;
}
↓
double f(double re, double im) {
        double r747197 = re;
        double r747198 = -4.227005657404525e+106;
        bool r747199 = r747197 <= r747198;
        double r747200 = -2.0;
        double r747201 = r747200 * r747197;
        double r747202 = 2.0;
        double r747203 = r747201 * r747202;
        double r747204 = sqrt(r747203);
        double r747205 = 0.5;
        double r747206 = r747204 * r747205;
        double r747207 = 1.356927887038044e-279;
        bool r747208 = r747197 <= r747207;
        double r747209 = im;
        double r747210 = r747209 * r747209;
        double r747211 = r747197 * r747197;
        double r747212 = r747210 + r747211;
        double r747213 = sqrt(r747212);
        double r747214 = cbrt(r747213);
        double r747215 = r747214 * r747214;
        double r747216 = r747215 * r747214;
        double r747217 = cbrt(r747216);
        double r747218 = r747217 * r747215;
        double r747219 = r747218 - r747197;
        double r747220 = r747202 * r747219;
        double r747221 = sqrt(r747220);
        double r747222 = r747221 * r747205;
        double r747223 = 2.964833325386901e-84;
        bool r747224 = r747197 <= r747223;
        double r747225 = r747209 - r747197;
        double r747226 = r747225 * r747202;
        double r747227 = sqrt(r747226);
        double r747228 = r747227 * r747205;
        double r747229 = r747210 * r747202;
        double r747230 = sqrt(r747229);
        double r747231 = r747213 + r747197;
        double r747232 = sqrt(r747231);
        double r747233 = r747230 / r747232;
        double r747234 = r747233 * r747205;
        double r747235 = r747224 ? r747228 : r747234;
        double r747236 = r747208 ? r747222 : r747235;
        double r747237 = r747199 ? r747206 : r747236;
        return r747237;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if re < -4.227005657404525e+106

    1. Initial program 51.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around -inf 9.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot re\right)}}\]

    if -4.227005657404525e+106 < re < 1.356927887038044e-279

    1. Initial program 20.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-cube-cbrt21.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied add-cube-cbrt21.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}} - re\right)}\]

    if 1.356927887038044e-279 < re < 2.964833325386901e-84

    1. Initial program 32.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 38.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\left(im - re\right)}}\]

    if 2.964833325386901e-84 < re

    1. Initial program 53.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip--53.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    4. Applied associate-*r/53.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    5. Applied sqrt-div53.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    6. Simplified37.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{0 + 2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification27.2

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -4.227005657404525 \cdot 10^{+106}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(-2 \cdot re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.356927887038044 \cdot 10^{-279}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt[3]{\left(\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}\right) - re\right)} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 2.964833325386901 \cdot 10^{-84}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(im - re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019133 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))