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Precision: 64
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -2.1323846657009018 \cdot 10^{-196}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 3.754040071367741 \cdot 10^{+124}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \le -2.1323846657009018 \cdot 10^{-196}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\

\mathbf{elif}\;re \le 3.754040071367741 \cdot 10^{+124}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + re\right)}\\

\end{array}
double f(double re, double im) {
        double r5776661 = 0.5;
        double r5776662 = 2.0;
        double r5776663 = re;
        double r5776664 = r5776663 * r5776663;
        double r5776665 = im;
        double r5776666 = r5776665 * r5776665;
        double r5776667 = r5776664 + r5776666;
        double r5776668 = sqrt(r5776667);
        double r5776669 = r5776668 + r5776663;
        double r5776670 = r5776662 * r5776669;
        double r5776671 = sqrt(r5776670);
        double r5776672 = r5776661 * r5776671;
        return r5776672;
}
↓
double f(double re, double im) {
        double r5776673 = re;
        double r5776674 = -2.1323846657009018e-196;
        bool r5776675 = r5776673 <= r5776674;
        double r5776676 = 0.5;
        double r5776677 = 2.0;
        double r5776678 = im;
        double r5776679 = r5776678 * r5776678;
        double r5776680 = r5776677 * r5776679;
        double r5776681 = sqrt(r5776680);
        double r5776682 = r5776673 * r5776673;
        double r5776683 = r5776679 + r5776682;
        double r5776684 = sqrt(r5776683);
        double r5776685 = r5776684 - r5776673;
        double r5776686 = sqrt(r5776685);
        double r5776687 = r5776681 / r5776686;
        double r5776688 = r5776676 * r5776687;
        double r5776689 = 3.754040071367741e+124;
        bool r5776690 = r5776673 <= r5776689;
        double r5776691 = r5776684 + r5776673;
        double r5776692 = r5776677 * r5776691;
        double r5776693 = sqrt(r5776692);
        double r5776694 = r5776676 * r5776693;
        double r5776695 = r5776673 + r5776673;
        double r5776696 = r5776677 * r5776695;
        double r5776697 = sqrt(r5776696);
        double r5776698 = r5776676 * r5776697;
        double r5776699 = r5776690 ? r5776694 : r5776698;
        double r5776700 = r5776675 ? r5776688 : r5776699;
        return r5776700;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original38.0
Target33.2
Herbie25.8
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if re < -2.1323846657009018e-196

    1. Initial program 48.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+48.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/48.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div48.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified35.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im - 0\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    if -2.1323846657009018e-196 < re < 3.754040071367741e+124

    1. Initial program 22.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    if 3.754040071367741e+124 < re

    1. Initial program 55.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 9.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification25.8

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -2.1323846657009018 \cdot 10^{-196}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 3.754040071367741 \cdot 10^{+124}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019133 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"

  :herbie-target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))