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Precision: 64
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le 4.953494487388565 \cdot 10^{-309}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 9.383285093579015 \cdot 10^{+93}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(re + \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \left(\sqrt{\left|\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right|} \cdot \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}\right)\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \le 4.953494487388565 \cdot 10^{-309}:\\
\;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}} \cdot 0.5\\

\mathbf{elif}\;re \le 9.383285093579015 \cdot 10^{+93}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(re + \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \left(\sqrt{\left|\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right|} \cdot \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}\right)\right) \cdot 2.0}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + re\right)}\\

\end{array}
double f(double re, double im) {
        double r7508093 = 0.5;
        double r7508094 = 2.0;
        double r7508095 = re;
        double r7508096 = r7508095 * r7508095;
        double r7508097 = im;
        double r7508098 = r7508097 * r7508097;
        double r7508099 = r7508096 + r7508098;
        double r7508100 = sqrt(r7508099);
        double r7508101 = r7508100 + r7508095;
        double r7508102 = r7508094 * r7508101;
        double r7508103 = sqrt(r7508102);
        double r7508104 = r7508093 * r7508103;
        return r7508104;
}
↓
double f(double re, double im) {
        double r7508105 = re;
        double r7508106 = 4.953494487388565e-309;
        bool r7508107 = r7508105 <= r7508106;
        double r7508108 = 2.0;
        double r7508109 = im;
        double r7508110 = r7508109 * r7508109;
        double r7508111 = r7508105 * r7508105;
        double r7508112 = r7508110 + r7508111;
        double r7508113 = sqrt(r7508112);
        double r7508114 = r7508113 - r7508105;
        double r7508115 = r7508110 / r7508114;
        double r7508116 = r7508108 * r7508115;
        double r7508117 = sqrt(r7508116);
        double r7508118 = 0.5;
        double r7508119 = r7508117 * r7508118;
        double r7508120 = 9.383285093579015e+93;
        bool r7508121 = r7508105 <= r7508120;
        double r7508122 = cbrt(r7508112);
        double r7508123 = sqrt(r7508122);
        double r7508124 = sqrt(r7508123);
        double r7508125 = fabs(r7508122);
        double r7508126 = sqrt(r7508125);
        double r7508127 = sqrt(r7508113);
        double r7508128 = r7508126 * r7508127;
        double r7508129 = r7508124 * r7508128;
        double r7508130 = r7508105 + r7508129;
        double r7508131 = r7508130 * r7508108;
        double r7508132 = sqrt(r7508131);
        double r7508133 = r7508118 * r7508132;
        double r7508134 = r7508105 + r7508105;
        double r7508135 = r7508108 * r7508134;
        double r7508136 = sqrt(r7508135);
        double r7508137 = r7508118 * r7508136;
        double r7508138 = r7508121 ? r7508133 : r7508137;
        double r7508139 = r7508107 ? r7508119 : r7508138;
        return r7508139;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original37.5
Target32.7
Herbie26.1
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if re < 4.953494487388565e-309

    1. Initial program 45.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt45.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod45.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied flip-+45.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re \cdot re}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}}\]

    7. Simplified35.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im + 0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}\]

    8. Simplified35.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    if 4.953494487388565e-309 < re < 9.383285093579015e+93

    1. Initial program 19.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt19.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod20.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied add-cube-cbrt20.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}} + re\right)}\]

    7. Applied sqrt-prod20.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}} + re\right)}\]

    8. Applied sqrt-prod20.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)} + re\right)}\]

    9. Applied associate-*r*20.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}} + re\right)}\]

    10. Simplified20.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt{\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right|} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    if 9.383285093579015e+93 < re

    1. Initial program 48.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt48.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod48.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    5. Taylor expanded around inf 11.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification26.1

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le 4.953494487388565 \cdot 10^{-309}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 9.383285093579015 \cdot 10^{+93}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(re + \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \left(\sqrt{\left|\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right|} \cdot \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}\right)\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019129 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"

  :herbie-target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))