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Precision: 64
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -1.6458450295661942 \cdot 10^{+125}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{-4.0 \cdot re}\\ \mathbf{elif}\;re \le 3.9393847958873876 \cdot 10^{-306}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \left(\left|\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right| \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}}\right) - re} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \left(\left|\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right| \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}}\right) - re}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \left(\left|\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right| \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}}\right) - re}\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{elif}\;re \le 3.154040392752644 \cdot 10^{-193}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1767734468.9185245:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 5.985959799431095 \cdot 10^{+91}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im - re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \le -1.6458450295661942 \cdot 10^{+125}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{-4.0 \cdot re}\\

\mathbf{elif}\;re \le 3.9393847958873876 \cdot 10^{-306}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \left(\left|\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right| \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}}\right) - re} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \left(\left|\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right| \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}}\right) - re}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \left(\left|\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right| \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}}\right) - re}\right) \cdot 2.0}\\

\mathbf{elif}\;re \le 3.154040392752644 \cdot 10^{-193}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im - re\right)}\\

\mathbf{elif}\;re \le 1767734468.9185245:\\
\;\;\;\;\sqrt{\frac{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}} \cdot 0.5\\

\mathbf{elif}\;re \le 5.985959799431095 \cdot 10^{+91}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im - re\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}}\\

\end{array}
double f(double re, double im) {
        double r2013474 = 0.5;
        double r2013475 = 2.0;
        double r2013476 = re;
        double r2013477 = r2013476 * r2013476;
        double r2013478 = im;
        double r2013479 = r2013478 * r2013478;
        double r2013480 = r2013477 + r2013479;
        double r2013481 = sqrt(r2013480);
        double r2013482 = r2013481 - r2013476;
        double r2013483 = r2013475 * r2013482;
        double r2013484 = sqrt(r2013483);
        double r2013485 = r2013474 * r2013484;
        return r2013485;
}
↓
double f(double re, double im) {
        double r2013486 = re;
        double r2013487 = -1.6458450295661942e+125;
        bool r2013488 = r2013486 <= r2013487;
        double r2013489 = 0.5;
        double r2013490 = -4.0;
        double r2013491 = r2013490 * r2013486;
        double r2013492 = sqrt(r2013491);
        double r2013493 = r2013489 * r2013492;
        double r2013494 = 3.9393847958873876e-306;
        bool r2013495 = r2013486 <= r2013494;
        double r2013496 = im;
        double r2013497 = r2013496 * r2013496;
        double r2013498 = r2013486 * r2013486;
        double r2013499 = r2013497 + r2013498;
        double r2013500 = cbrt(r2013499);
        double r2013501 = sqrt(r2013500);
        double r2013502 = sqrt(r2013501);
        double r2013503 = fabs(r2013500);
        double r2013504 = r2013503 * r2013502;
        double r2013505 = r2013502 * r2013504;
        double r2013506 = r2013505 - r2013486;
        double r2013507 = cbrt(r2013506);
        double r2013508 = r2013507 * r2013507;
        double r2013509 = r2013508 * r2013507;
        double r2013510 = 2.0;
        double r2013511 = r2013509 * r2013510;
        double r2013512 = sqrt(r2013511);
        double r2013513 = r2013489 * r2013512;
        double r2013514 = 3.154040392752644e-193;
        bool r2013515 = r2013486 <= r2013514;
        double r2013516 = r2013496 - r2013486;
        double r2013517 = r2013510 * r2013516;
        double r2013518 = sqrt(r2013517);
        double r2013519 = r2013489 * r2013518;
        double r2013520 = 1767734468.9185245;
        bool r2013521 = r2013486 <= r2013520;
        double r2013522 = r2013510 * r2013497;
        double r2013523 = sqrt(r2013499);
        double r2013524 = r2013523 + r2013486;
        double r2013525 = r2013522 / r2013524;
        double r2013526 = sqrt(r2013525);
        double r2013527 = r2013526 * r2013489;
        double r2013528 = 5.985959799431095e+91;
        bool r2013529 = r2013486 <= r2013528;
        double r2013530 = sqrt(r2013522);
        double r2013531 = sqrt(r2013524);
        double r2013532 = r2013530 / r2013531;
        double r2013533 = r2013489 * r2013532;
        double r2013534 = r2013529 ? r2013519 : r2013533;
        double r2013535 = r2013521 ? r2013527 : r2013534;
        double r2013536 = r2013515 ? r2013519 : r2013535;
        double r2013537 = r2013495 ? r2013513 : r2013536;
        double r2013538 = r2013488 ? r2013493 : r2013537;
        return r2013538;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 5 regimes

  2. if re < -1.6458450295661942e+125

    1. Initial program 54.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around -inf 8.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{-4.0 \cdot re}}\]

    if -1.6458450295661942e+125 < re < 3.9393847958873876e-306

    1. Initial program 19.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-cube-cbrt19.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod19.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]

    5. Simplified19.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right|} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)}\]
    6. Using strategy rm

    7. Applied add-sqr-sqrt19.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}} - re\right)}\]

    8. Applied sqrt-prod19.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)} - re\right)}\]

    9. Applied associate-*r*19.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}} - re\right)}\]
    10. Using strategy rm

    11. Applied add-cube-cbrt20.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} - re} \cdot \sqrt[3]{\left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} - re}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} - re}\right)}}\]

    if 3.9393847958873876e-306 < re < 3.154040392752644e-193 or 1767734468.9185245 < re < 5.985959799431095e+91

    1. Initial program 37.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 40.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\left(im - re\right)}}\]

    if 3.154040392752644e-193 < re < 1767734468.9185245

    1. Initial program 36.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip--36.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    4. Applied associate-*r/36.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    5. Simplified30.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\frac{\color{blue}{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

    if 5.985959799431095e+91 < re

    1. Initial program 58.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip--58.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    4. Applied associate-*r/58.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    5. Applied sqrt-div58.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    6. Simplified41.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]
  3. Recombined 5 regimes into one program.

  4. Final simplification27.1

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -1.6458450295661942 \cdot 10^{+125}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{-4.0 \cdot re}\\ \mathbf{elif}\;re \le 3.9393847958873876 \cdot 10^{-306}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \left(\left|\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right| \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}}\right) - re} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \left(\left|\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right| \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}}\right) - re}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \left(\left|\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right| \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}}\right) - re}\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{elif}\;re \le 3.154040392752644 \cdot 10^{-193}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1767734468.9185245:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 5.985959799431095 \cdot 10^{+91}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im - re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019125 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))