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Precision: 64
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -4.998545707749818 \cdot 10^{-26}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{-2 \cdot re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 8.21397948044104 \cdot 10^{+99}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re\right)} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{4.0 \cdot re}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \le -4.998545707749818 \cdot 10^{-26}:\\
\;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{-2 \cdot re}} \cdot 0.5\\

\mathbf{elif}\;re \le 8.21397948044104 \cdot 10^{+99}:\\
\;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re\right)} \cdot 0.5\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{4.0 \cdot re}\\

\end{array}
double f(double re, double im) {
        double r6919733 = 0.5;
        double r6919734 = 2.0;
        double r6919735 = re;
        double r6919736 = r6919735 * r6919735;
        double r6919737 = im;
        double r6919738 = r6919737 * r6919737;
        double r6919739 = r6919736 + r6919738;
        double r6919740 = sqrt(r6919739);
        double r6919741 = r6919740 + r6919735;
        double r6919742 = r6919734 * r6919741;
        double r6919743 = sqrt(r6919742);
        double r6919744 = r6919733 * r6919743;
        return r6919744;
}
↓
double f(double re, double im) {
        double r6919745 = re;
        double r6919746 = -4.998545707749818e-26;
        bool r6919747 = r6919745 <= r6919746;
        double r6919748 = im;
        double r6919749 = r6919748 * r6919748;
        double r6919750 = 2.0;
        double r6919751 = r6919749 * r6919750;
        double r6919752 = sqrt(r6919751);
        double r6919753 = -2.0;
        double r6919754 = r6919753 * r6919745;
        double r6919755 = sqrt(r6919754);
        double r6919756 = r6919752 / r6919755;
        double r6919757 = 0.5;
        double r6919758 = r6919756 * r6919757;
        double r6919759 = 8.21397948044104e+99;
        bool r6919760 = r6919745 <= r6919759;
        double r6919761 = r6919745 * r6919745;
        double r6919762 = r6919749 + r6919761;
        double r6919763 = sqrt(r6919762);
        double r6919764 = r6919763 + r6919745;
        double r6919765 = r6919750 * r6919764;
        double r6919766 = sqrt(r6919765);
        double r6919767 = r6919766 * r6919757;
        double r6919768 = 4.0;
        double r6919769 = r6919768 * r6919745;
        double r6919770 = sqrt(r6919769);
        double r6919771 = r6919757 * r6919770;
        double r6919772 = r6919760 ? r6919767 : r6919771;
        double r6919773 = r6919747 ? r6919758 : r6919772;
        return r6919773;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original37.5
Target32.8
Herbie23.5
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if re < -4.998545707749818e-26

    1. Initial program 55.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+55.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/55.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div55.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified37.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    7. Taylor expanded around -inf 27.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\color{blue}{-2 \cdot re}}}\]

    if -4.998545707749818e-26 < re < 8.21397948044104e+99

    1. Initial program 25.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    if 8.21397948044104e+99 < re

    1. Initial program 48.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+60.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/60.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div60.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified61.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied sqrt-undiv61.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    9. Taylor expanded around 0 11.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{4.0 \cdot re}}\]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification23.5

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -4.998545707749818 \cdot 10^{-26}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{-2 \cdot re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 8.21397948044104 \cdot 10^{+99}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re\right)} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{4.0 \cdot re}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019121 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"

  :herbie-target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))