math.sqrt on complex, real part

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Time: 29.0s

Precision: 64

Math

\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -1.6432613810407212 \cdot 10^{+132}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{-2 \cdot re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le -5.3987225590792994 \cdot 10^{-114}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\frac{\sqrt{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2.0}}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}} \cdot \sqrt{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2.0}}\right)\\ \mathbf{elif}\;re \le 6.786126003666956 \cdot 10^{+138}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]

C

double f(double re, double im) {
        double r47245768 = 0.5;
        double r47245769 = 2.0;
        double r47245770 = re;
        double r47245771 = r47245770 * r47245770;
        double r47245772 = im;
        double r47245773 = r47245772 * r47245772;
        double r47245774 = r47245771 + r47245773;
        double r47245775 = sqrt(r47245774);
        double r47245776 = r47245775 + r47245770;
        double r47245777 = r47245769 * r47245776;
        double r47245778 = sqrt(r47245777);
        double r47245779 = r47245768 * r47245778;
        return r47245779;
}

↓

double f(double re, double im) {
        double r47245780 = re;
        double r47245781 = -1.6432613810407212e+132;
        bool r47245782 = r47245780 <= r47245781;
        double r47245783 = im;
        double r47245784 = r47245783 * r47245783;
        double r47245785 = 2.0;
        double r47245786 = r47245784 * r47245785;
        double r47245787 = sqrt(r47245786);
        double r47245788 = -2.0;
        double r47245789 = r47245788 * r47245780;
        double r47245790 = sqrt(r47245789);
        double r47245791 = r47245787 / r47245790;
        double r47245792 = 0.5;
        double r47245793 = r47245791 * r47245792;
        double r47245794 = -5.3987225590792994e-114;
        bool r47245795 = r47245780 <= r47245794;
        double r47245796 = sqrt(r47245787);
        double r47245797 = r47245780 * r47245780;
        double r47245798 = r47245784 + r47245797;
        double r47245799 = sqrt(r47245798);
        double r47245800 = r47245799 - r47245780;
        double r47245801 = sqrt(r47245800);
        double r47245802 = r47245796 / r47245801;
        double r47245803 = r47245802 * r47245796;
        double r47245804 = r47245792 * r47245803;
        double r47245805 = 6.786126003666956e+138;
        bool r47245806 = r47245780 <= r47245805;
        double r47245807 = r47245780 + r47245799;
        double r47245808 = r47245807 * r47245785;
        double r47245809 = sqrt(r47245808);
        double r47245810 = r47245792 * r47245809;
        double r47245811 = r47245780 + r47245780;
        double r47245812 = r47245785 * r47245811;
        double r47245813 = sqrt(r47245812);
        double r47245814 = r47245792 * r47245813;
        double r47245815 = r47245806 ? r47245810 : r47245814;
        double r47245816 = r47245795 ? r47245804 : r47245815;
        double r47245817 = r47245782 ? r47245793 : r47245816;
        return r47245817;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original	37.6
Target	32.9
Herbie	21.7

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if re < -1.6432613810407212e+132

   1. Initial program 61.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied add-sqr-sqrt 61.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}}\right)}\]
   4. Using strategy rm

   5. Applied flip-+ 61.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}}\right)\]

   6. Applied associate-*r/ 61.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}}\right)\]

   7. Applied sqrt-div 61.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}} \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}}\right)\]

   8. Applied sqrt-div 61.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}}\right)\]

   9. Applied flip-+ 61.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}} \cdot \frac{\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\]

   10. Applied associate-*r/ 61.2

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}} \cdot \frac{\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\]

   11. Applied sqrt-div 61.2

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}} \cdot \frac{\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\]

   12. Applied sqrt-div 61.2

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}} \cdot \frac{\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\]

   13. Applied frac-times 61.2

       \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}}\]

   14. Simplified 48.0

       \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   15. Simplified 48.0

       \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   16. Taylor expanded around -inf 19.1

       \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\color{blue}{-2 \cdot re}}}\]

   if -1.6432613810407212e+132 < re < -5.3987225590792994e-114

   1. Initial program 44.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied add-sqr-sqrt 44.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}}\right)}\]
   4. Using strategy rm

   5. Applied flip-+ 44.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}}\right)\]

   6. Applied associate-*r/ 44.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}}\right)\]

   7. Applied sqrt-div 44.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}} \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}}\right)\]

   8. Applied sqrt-div 44.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}}\right)\]

   9. Applied flip-+ 44.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}} \cdot \frac{\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\]

   10. Applied associate-*r/ 44.2

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}} \cdot \frac{\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\]

   11. Applied sqrt-div 44.2

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}} \cdot \frac{\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\]

   12. Applied sqrt-div 44.3

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}} \cdot \frac{\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\]

   13. Applied frac-times 44.3

       \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}}\]

   14. Simplified 28.6

       \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   15. Simplified 28.4

       \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]
   16. Using strategy rm

   17. Applied *-un-lft-identity 28.4

       \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\color{blue}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}}}\]

   18. Applied sqrt-prod 28.4

       \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\color{blue}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   19. Applied add-sqr-sqrt 28.6

       \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

   20. Applied times-frac 28.5

       \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)}\]

   21. Simplified 28.5

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}} \cdot \frac{\sqrt{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\]

   if -5.3987225590792994e-114 < re < 6.786126003666956e+138

   1. Initial program 23.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

   if 6.786126003666956e+138 < re

   1. Initial program 57.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

   2. Taylor expanded around inf 9.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 21.7

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -1.6432613810407212 \cdot 10^{+132}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{-2 \cdot re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le -5.3987225590792994 \cdot 10^{-114}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\frac{\sqrt{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2.0}}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}} \cdot \sqrt{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2.0}}\right)\\ \mathbf{elif}\;re \le 6.786126003666956 \cdot 10^{+138}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019104 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"

  :herbie-target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))