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Precision: 64
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -4.9910999982975843 \cdot 10^{+145}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(-2 \cdot re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 8.020319511765941 \cdot 10^{-261}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 7.607752075086984 \cdot 10^{-180}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(im - re\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if re < -4.9910999982975843e+145

    1. Initial program 59.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around -inf 9.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot re\right)}}\]

    if -4.9910999982975843e+145 < re < 8.020319511765941e-261

    1. Initial program 20.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    if 8.020319511765941e-261 < re < 7.607752075086984e-180

    1. Initial program 29.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 35.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{im} - re\right)}\]

    if 7.607752075086984e-180 < re

    1. Initial program 49.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip--49.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    4. Applied associate-*r/49.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    5. Applied sqrt-div49.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    6. Simplified35.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification26.0

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -4.9910999982975843 \cdot 10^{+145}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(-2 \cdot re\right) \cdot 2.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le 8.020319511765941 \cdot 10^{-261}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 7.607752075086984 \cdot 10^{-180}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(im - re\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re}}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019100 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))