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Precision: 64
\[\frac{x.re \cdot y.re + x.im \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{x.im \cdot y.im + x.re \cdot y.re}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \le 6.959736641168597 \cdot 10^{+280}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{x.im \cdot y.im + x.re \cdot y.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{-x.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus x.re

Bits error versus x.im

Bits error versus y.re

Bits error versus y.im

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if (/ (+ (* x.re y.re) (* x.im y.im)) (+ (* y.re y.re) (* y.im y.im))) < 6.959736641168597e+280

    1. Initial program 14.1

      \[\frac{x.re \cdot y.re + x.im \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt14.1

      \[\leadsto \frac{x.re \cdot y.re + x.im \cdot y.im}{\color{blue}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \cdot \sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}\]

    4. Applied associate-/r*14.0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{x.re \cdot y.re + x.im \cdot y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}\]

    if 6.959736641168597e+280 < (/ (+ (* x.re y.re) (* x.im y.im)) (+ (* y.re y.re) (* y.im y.im)))

    1. Initial program 61.2

      \[\frac{x.re \cdot y.re + x.im \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt61.2

      \[\leadsto \frac{x.re \cdot y.re + x.im \cdot y.im}{\color{blue}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \cdot \sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}\]

    4. Applied associate-/r*61.2

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{x.re \cdot y.re + x.im \cdot y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}\]

    5. Taylor expanded around -inf 60.1

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{-1 \cdot x.re}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]

    6. Simplified60.1

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{-x.re}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification25.6

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{x.im \cdot y.im + x.re \cdot y.re}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \le 6.959736641168597 \cdot 10^{+280}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{x.im \cdot y.im + x.re \cdot y.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{-x.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019100 
(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
  :name "_divideComplex, real part"
  (/ (+ (* x.re y.re) (* x.im y.im)) (+ (* y.re y.re) (* y.im y.im))))