Average Error: 36.8 → 25.2
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Precision: 64
Internal Precision: 128
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re \le 0.0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re \le 4.57268612224657 \cdot 10^{-195}:\\ \;\;\;\;\sqrt{re \cdot 4.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re \le 1.141223986670834 \cdot 10^{+151}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + im\right)}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original36.8
Target32.2
Herbie25.2
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re) < 0.0

    1. Initial program 58.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+58.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/58.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div58.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified34.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    if 0.0 < (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re) < 4.57268612224657e-195

    1. Initial program 54.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 32.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{4.0 \cdot re}}\]

    if 4.57268612224657e-195 < (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re) < 1.141223986670834e+151

    1. Initial program 1.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    if 1.141223986670834e+151 < (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)

    1. Initial program 60.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 43.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{2.0 \cdot re + 2.0 \cdot im}}\]

    3. Simplified43.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{2.0 \cdot \left(re + im\right)}}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification25.2

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re \le 0.0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re \le 4.57268612224657 \cdot 10^{-195}:\\ \;\;\;\;\sqrt{re \cdot 4.0} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re \le 1.141223986670834 \cdot 10^{+151}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + im\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019094 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"

  :herbie-target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))