Average Error: 28.7 → 9.8
Time: 51.4s
Precision: 64
Internal Precision: 128
\[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \le 3.107578843224449:\\ \;\;\;\;\frac{(\left(\sqrt{(b \cdot b + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right))_*}\right) \cdot \left((b \cdot b + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right))_*\right) + \left(\left(-b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right))_*}{\left(\left(b \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + b \cdot b\right) + \sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right) \cdot \left(3 \cdot a\right)}\\ \mathbf{elif}\;b \le 56.829963540624654:\\ \;\;\;\;\frac{(\frac{-9}{2} \cdot \left(\left(c \cdot b\right) \cdot a\right) + \left(\frac{\left(a \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot c\right)}{b} \cdot \frac{27}{8}\right))_*}{\left(\left(b \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + b \cdot b\right) + e^{\log \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right)}\right) \cdot \left(3 \cdot a\right)}\\ \mathbf{elif}\;b \le 478.0059736874475:\\ \;\;\;\;\frac{(\left(\sqrt{(b \cdot b + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right))_*}\right) \cdot \left((b \cdot b + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right))_*\right) + \left(\left(-b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right))_*}{\left(\left(b \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + b \cdot b\right) + \sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right) \cdot \left(3 \cdot a\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{(\frac{-9}{2} \cdot \left(\left(c \cdot b\right) \cdot a\right) + \left(\frac{\left(a \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot c\right)}{b} \cdot \frac{27}{8}\right))_*}{\sqrt[3]{\left(\left((\left(a \cdot c\right) \cdot -3 + \left(b \cdot b\right))_* + (\left(\sqrt{(\left(a \cdot c\right) \cdot -3 + \left(b \cdot b\right))_*}\right) \cdot b + \left(b \cdot b\right))_*\right) \cdot \left((\left(a \cdot c\right) \cdot -3 + \left(b \cdot b\right))_* + (\left(\sqrt{(\left(a \cdot c\right) \cdot -3 + \left(b \cdot b\right))_*}\right) \cdot b + \left(b \cdot b\right))_*\right)\right) \cdot \left(\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right) \cdot \left((\left(a \cdot c\right) \cdot -3 + \left(b \cdot b\right))_* + (\left(\sqrt{(\left(a \cdot c\right) \cdot -3 + \left(b \cdot b\right))_*}\right) \cdot b + \left(b \cdot b\right))_*\right)\right)}}\\ \end{array}\]

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Bits error versus d

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if b < 3.107578843224449 or 56.829963540624654 < b < 478.0059736874475

    1. Initial program 15.6

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]

    2. Simplified15.6

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} - b}{3 \cdot a}}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied flip3--15.7

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right)}^{3} - {b}^{3}}{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)}}}{3 \cdot a}\]

    5. Applied associate-/l/15.7

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right)}^{3} - {b}^{3}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}}\]

    6. Simplified15.0

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt{(b \cdot b + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right))_*} \cdot (b \cdot b + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right))_* - b \cdot \left(b \cdot b\right)}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied fma-neg14.9

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{(\left(\sqrt{(b \cdot b + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right))_*}\right) \cdot \left((b \cdot b + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right))_*\right) + \left(-b \cdot \left(b \cdot b\right)\right))_*}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}\]

    if 3.107578843224449 < b < 56.829963540624654

    1. Initial program 18.8

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]

    2. Simplified18.8

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} - b}{3 \cdot a}}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied flip3--18.9

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right)}^{3} - {b}^{3}}{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)}}}{3 \cdot a}\]

    5. Applied associate-/l/18.9

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right)}^{3} - {b}^{3}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}}\]

    6. Simplified18.3

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt{(b \cdot b + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right))_*} \cdot (b \cdot b + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right))_* - b \cdot \left(b \cdot b\right)}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}\]

    7. Taylor expanded around inf 16.2

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{27}{8} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{2}}{b} - \frac{9}{2} \cdot \left(a \cdot \left(b \cdot c\right)\right)}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}\]

    8. Simplified16.2

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{(\frac{-9}{2} \cdot \left(\left(b \cdot c\right) \cdot a\right) + \left(\frac{27}{8} \cdot \frac{\left(a \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot c\right)}{b}\right))_*}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}\]
    9. Using strategy rm

    10. Applied add-exp-log16.2

      \[\leadsto \frac{(\frac{-9}{2} \cdot \left(\left(b \cdot c\right) \cdot a\right) + \left(\frac{27}{8} \cdot \frac{\left(a \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot c\right)}{b}\right))_*}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right)}} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}\]

    if 478.0059736874475 < b

    1. Initial program 36.1

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]

    2. Simplified36.1

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} - b}{3 \cdot a}}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied flip3--36.2

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right)}^{3} - {b}^{3}}{\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)}}}{3 \cdot a}\]

    5. Applied associate-/l/36.2

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right)}^{3} - {b}^{3}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}}\]

    6. Simplified35.5

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt{(b \cdot b + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right))_*} \cdot (b \cdot b + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right))_* - b \cdot \left(b \cdot b\right)}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}\]

    7. Taylor expanded around inf 6.5

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{27}{8} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{2}}{b} - \frac{9}{2} \cdot \left(a \cdot \left(b \cdot c\right)\right)}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}\]

    8. Simplified6.5

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{(\frac{-9}{2} \cdot \left(\left(b \cdot c\right) \cdot a\right) + \left(\frac{27}{8} \cdot \frac{\left(a \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot c\right)}{b}\right))_*}}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}\]
    9. Using strategy rm

    10. Applied add-cbrt-cube6.6

      \[\leadsto \frac{(\frac{-9}{2} \cdot \left(\left(b \cdot c\right) \cdot a\right) + \left(\frac{27}{8} \cdot \frac{\left(a \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot c\right)}{b}\right))_*}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}}}\]

    11. Applied add-cbrt-cube6.7

      \[\leadsto \frac{(\frac{-9}{2} \cdot \left(\left(b \cdot c\right) \cdot a\right) + \left(\frac{27}{8} \cdot \frac{\left(a \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot c\right)}{b}\right))_*}{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(3 \cdot a\right)\right) \cdot \left(3 \cdot a\right)}} \cdot \sqrt[3]{\left(\left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)}}\]

    12. Applied cbrt-unprod6.6

      \[\leadsto \frac{(\frac{-9}{2} \cdot \left(\left(b \cdot c\right) \cdot a\right) + \left(\frac{27}{8} \cdot \frac{\left(a \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot c\right)}{b}\right))_*}{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(3 \cdot a\right)\right) \cdot \left(3 \cdot a\right)\right) \cdot \left(\left(\left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)\right) \cdot \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + \left(b \cdot b + \sqrt{(-3 \cdot \left(c \cdot a\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot b\right)\right)\right)}}}\]

    13. Simplified6.6

      \[\leadsto \frac{(\frac{-9}{2} \cdot \left(\left(b \cdot c\right) \cdot a\right) + \left(\frac{27}{8} \cdot \frac{\left(a \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot c\right)}{b}\right))_*}{\sqrt[3]{\color{blue}{\left(\left((\left(c \cdot a\right) \cdot -3 + \left(b \cdot b\right))_* + (\left(\sqrt{(\left(c \cdot a\right) \cdot -3 + \left(b \cdot b\right))_*}\right) \cdot b + \left(b \cdot b\right))_*\right) \cdot \left((\left(c \cdot a\right) \cdot -3 + \left(b \cdot b\right))_* + (\left(\sqrt{(\left(c \cdot a\right) \cdot -3 + \left(b \cdot b\right))_*}\right) \cdot b + \left(b \cdot b\right))_*\right)\right) \cdot \left(\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right) \cdot \left((\left(c \cdot a\right) \cdot -3 + \left(b \cdot b\right))_* + (\left(\sqrt{(\left(c \cdot a\right) \cdot -3 + \left(b \cdot b\right))_*}\right) \cdot b + \left(b \cdot b\right))_*\right)\right)}}}\]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification9.8

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \le 3.107578843224449:\\ \;\;\;\;\frac{(\left(\sqrt{(b \cdot b + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right))_*}\right) \cdot \left((b \cdot b + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right))_*\right) + \left(\left(-b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right))_*}{\left(\left(b \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + b \cdot b\right) + \sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right) \cdot \left(3 \cdot a\right)}\\ \mathbf{elif}\;b \le 56.829963540624654:\\ \;\;\;\;\frac{(\frac{-9}{2} \cdot \left(\left(c \cdot b\right) \cdot a\right) + \left(\frac{\left(a \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot c\right)}{b} \cdot \frac{27}{8}\right))_*}{\left(\left(b \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + b \cdot b\right) + e^{\log \left(\sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right)}\right) \cdot \left(3 \cdot a\right)}\\ \mathbf{elif}\;b \le 478.0059736874475:\\ \;\;\;\;\frac{(\left(\sqrt{(b \cdot b + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right))_*}\right) \cdot \left((b \cdot b + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right))_*\right) + \left(\left(-b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right))_*}{\left(\left(b \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*} + b \cdot b\right) + \sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*} \cdot \sqrt{(-3 \cdot \left(a \cdot c\right) + \left(b \cdot b\right))_*}\right) \cdot \left(3 \cdot a\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{(\frac{-9}{2} \cdot \left(\left(c \cdot b\right) \cdot a\right) + \left(\frac{\left(a \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot c\right)}{b} \cdot \frac{27}{8}\right))_*}{\sqrt[3]{\left(\left((\left(a \cdot c\right) \cdot -3 + \left(b \cdot b\right))_* + (\left(\sqrt{(\left(a \cdot c\right) \cdot -3 + \left(b \cdot b\right))_*}\right) \cdot b + \left(b \cdot b\right))_*\right) \cdot \left((\left(a \cdot c\right) \cdot -3 + \left(b \cdot b\right))_* + (\left(\sqrt{(\left(a \cdot c\right) \cdot -3 + \left(b \cdot b\right))_*}\right) \cdot b + \left(b \cdot b\right))_*\right)\right) \cdot \left(\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right) \cdot \left((\left(a \cdot c\right) \cdot -3 + \left(b \cdot b\right))_* + (\left(\sqrt{(\left(a \cdot c\right) \cdot -3 + \left(b \cdot b\right))_*}\right) \cdot b + \left(b \cdot b\right))_*\right)\right)}}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019093 +o rules:numerics
(FPCore (a b c d)
  :name "Cubic critical, narrow range"
  :pre (and (< 1.0536712127723509e-08 a 94906265.62425156) (< 1.0536712127723509e-08 b 94906265.62425156) (< 1.0536712127723509e-08 c 94906265.62425156))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* 3 a)))