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Internal Precision: 128
\[\frac{4}{\left(\left(3 \cdot \pi\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)\right) \cdot \sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}}\]
↓
\[\frac{\left(\pi + \pi \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(v \cdot v\right)\right) + \pi \cdot \pi}{\sqrt{2 + \left(-6 \cdot v\right) \cdot v}} \cdot \frac{\frac{4}{3}}{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\pi - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}\]

Error

Bits error versus v

Derivation

  1. Initial program 1.0

    \[\frac{4}{\left(\left(3 \cdot \pi\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)\right) \cdot \sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}}\]

  2. Simplified0.0

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{4}{3}}{\pi - \left(v \cdot v\right) \cdot \pi}}{\sqrt{2 + \left(v \cdot -6\right) \cdot v}}}\]
  3. Using strategy rm

  4. Applied *-un-lft-identity0.0

    \[\leadsto \frac{\frac{\frac{4}{3}}{\pi - \left(v \cdot v\right) \cdot \pi}}{\sqrt{\color{blue}{1 \cdot \left(2 + \left(v \cdot -6\right) \cdot v\right)}}}\]

  5. Applied sqrt-prod0.0

    \[\leadsto \frac{\frac{\frac{4}{3}}{\pi - \left(v \cdot v\right) \cdot \pi}}{\color{blue}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{2 + \left(v \cdot -6\right) \cdot v}}}\]

  6. Applied flip3--0.0

    \[\leadsto \frac{\frac{\frac{4}{3}}{\color{blue}{\frac{{\pi}^{3} - {\left(\left(v \cdot v\right) \cdot \pi\right)}^{3}}{\pi \cdot \pi + \left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \pi\right) + \pi \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \pi\right)\right)}}}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{2 + \left(v \cdot -6\right) \cdot v}}\]

  7. Applied associate-/r/0.0

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\frac{4}{3}}{{\pi}^{3} - {\left(\left(v \cdot v\right) \cdot \pi\right)}^{3}} \cdot \left(\pi \cdot \pi + \left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \pi\right) + \pi \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \pi\right)\right)\right)}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{2 + \left(v \cdot -6\right) \cdot v}}\]

  8. Applied times-frac0.0

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{4}{3}}{{\pi}^{3} - {\left(\left(v \cdot v\right) \cdot \pi\right)}^{3}}}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\pi \cdot \pi + \left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \pi\right) + \pi \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \pi\right)\right)}{\sqrt{2 + \left(v \cdot -6\right) \cdot v}}}\]

  9. Simplified0.0

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{4}{3}}{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\pi - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \pi\right)\right)}} \cdot \frac{\pi \cdot \pi + \left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \pi\right) + \pi \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \pi\right)\right)}{\sqrt{2 + \left(v \cdot -6\right) \cdot v}}\]

  10. Simplified0.0

    \[\leadsto \frac{\frac{4}{3}}{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\pi - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \pi\right)\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\left(\pi + \left(v \cdot v\right) \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \pi\right) + \pi \cdot \pi}{\sqrt{\left(v \cdot -6\right) \cdot v + 2}}}\]

  11. Final simplification0.0

    \[\leadsto \frac{\left(\pi + \pi \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(v \cdot v\right)\right) + \pi \cdot \pi}{\sqrt{2 + \left(-6 \cdot v\right) \cdot v}} \cdot \frac{\frac{4}{3}}{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\pi - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019093 
(FPCore (v)
  :name "Falkner and Boettcher, Equation (22+)"
  (/ 4 (* (* (* 3 PI) (- 1 (* v v))) (sqrt (- 2 (* 6 (* v v)))))))